№14657

Экзамены с этой задачей: Преобразования буквенных логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростить и Вычислить: выражения\((a^{\frac{log_{9}25}{log_{3}125}}\cdot b^{log_{27}3})^{log_{ab}(2a+3b)^{3}}\) при \(a=0,5, b=3\)

Ответ

10

Решение № 14655:

Давайте упростим и вычислим выражение \((a^{\frac{\log_{9}25}{\log_{3}125}} \cdot b^{\log_{27}3})^{\log_{ab}(2a+3b)^{3}}\) при \(a = 0.5\) и \(b = 3\). <ol> <li> Начнем с упрощения логарифмических выражений внутри степеней. </li> <li> Вспомним свойство логарифмов: \(\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_{a} b\). </li> <li> Применим это свойство к \(\log_{9}25\): \[ \log_{9}25 = \log_{3^2}5^2 = \frac{2}{2} \log_{3}5 = \log_{3}5. \] </li> <li> Применим это свойство к \(\log_{3}125\): \[ \log_{3}125 = \log_{3}5^3 = 3 \log_{3}5. \] </li> <li> Применим это свойство к \(\log_{27}3\): \[ \log_{27}3 = \log_{3^3}3 = \frac{1}{3} \log_{3}3 = \frac{1}{3}. \] </li> <li> Теперь подставим эти значения в исходное выражение: \[ \left(a^{\frac{\log_{3}5}{3 \log_{3}5}} \cdot b^{\frac{1}{3}}\right)^{\log_{ab}(2a+3b)^{3}}. \] </li> <li> Упростим показатель степени для \(a\): \[ \frac{\log_{3}5}{3 \log_{3}5} = \frac{1}{3}. \] </li> <li> Подставим значения \(a\) и \(b\): \[ \left((0.5)^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}\right)^{\log_{0.5 \cdot 3}(2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 3)^{3}}. \] </li> <li> Упростим выражение внутри логарифма: \[ 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 3 = 1 + 9 = 10. \] </li> <li> Подставим это значение: \[ \left((0.5)^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}\right)^{\log_{1.5}(10)^{3}}. \] </li> <li> Упростим выражение внутри скобок: \[ (0.5)^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} = (0.5 \cdot 3)^{\frac{1}{3}} = 1.5^{\frac{1}{3}}. \] </li> <li> Подставим это значение: \[ \left(1.5^{\frac{1}{3}}\right)^{\log_{1.5}(10)^{3}}. \] </li> <li> Упростим выражение: \[ 1.5^{\frac{1}{3} \cdot \log_{1.5}(10)^{3}} = 1.5^{\log_{1.5}(10)}. \] </li> <li> Используем свойство логарифмов: \(a^{\log_{a}b} = b\): \[ 1.5^{\log_{1.5}(10)} = 10. \] </li> <li> Таким образом, окончательный результат: \[ \left(a^{\frac{\log_{9}25}{\log_{3}125}} \cdot b^{\log_{27}3}\right)^{\log_{ab}(2a+3b)^{3}} = 10. \] </li> </ol> Если записать математически, то ответ будет выглядеть так: \[ \left(a^{\frac{\log_{9}25}{\log_{3}125}} \cdot b^{\log_{27}3}\right)^{\log_{ab}(2a+3b)^{3}} = \left(1.5^{\frac{1}{3}}\right)^{\log_{1.5}(10)^{3}} = 1.5^{\log_{1.5}(10)} = 10. \]