№14659

Экзамены с этой задачей: Преобразования буквенных логарифмических выражений

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, логарифм числа, Свойства логарифмов,

Задача в следующих классах: 10 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Упростить и Вычислить: выражения\((m^{\frac{log_{4}n}{log_{2}n}}\cdot n^{\frac{log_{4}m}{log_{2}m}})^{2log_{mn}3}\) при \(m=7, m=0,2\)

Ответ

3

Решение № 14657:

Для упрощения и вычисления выражения \((m^{\frac{\log_{4}n}{\log_{2}n}} \cdot n^{\frac{\log_{4}m}{\log_{2}m}})^{2\log_{mn}3}\) при \(m = 7\) и \(n = 0.2\), выполним следующие шаги: 1. **Упрощение выражения с использованием свойств логарифмов:** \[ \left(m^{\frac{\log_{4}n}{\log_{2}n}} \cdot n^{\frac{\log_{4}m}{\log_{2}m}}\right)^{2\log_{mn}3} \] 2. **Используем свойства логарифмов и степеней:** \[ \log_{4}n = \frac{\log_{2}n}{\log_{2}4} = \frac{\log_{2}n}{2} \] \[ \log_{4}m = \frac{\log_{2}m}{\log_{2}4} = \frac{\log_{2}m}{2} \] 3. **Подставим эти значения в выражение:** \[ \left(m^{\frac{\frac{\log_{2}n}{2}}{\log_{2}n}} \cdot n^{\frac{\frac{\log_{2}m}{2}}{\log_{2}m}}\right)^{2\log_{mn}3} \] 4. **Упростим показатели степеней:** \[ \left(m^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{2}}\right)^{2\log_{mn}3} \] 5. **Возьмем квадратный корень из каждого множителя:** \[ \left(\sqrt{m} \cdot \sqrt{n}\right)^{2\log_{mn}3} \] 6. **Упростим выражение внутри скобок:** \[ \left(\sqrt{mn}\right)^{2\log_{mn}3} \] 7. **Используем свойство степеней:** \[ \left(\sqrt{mn}\right)^{2\log_{mn}3} = (mn)^{\log_{mn}3} \] 8. **Используем свойство логарифмов:** \[ (mn)^{\log_{mn}3} = 3 \] Таким образом, выражение упрощается до: \[ 3 \] Теперь подставим значения \(m = 7\) и \(n = 0.2\): 1. **Подставим значения \(m\) и \(n\):** \[ 3 \] Таким образом, окончательный ответ: \[ \boxed{3} \]