Решение №15722: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2x-2> 0 & & \\ 2x-3> 0 & & \end{matrix}\right. x> \frac{3}{2} \) Имеем \( 4^{2\log _{8}\left ( 2x-2 \right )}*4^{-\log _{8}\left (2x-3 \right )}=4^{\frac{2}{3}}, 4^{2\log _{8}\left ( 2x-2 \right )-\log _{8}\left (2x-3 \right )}=4^{\frac{2}{3}}, 2\log _{8}\left ( 2x-2 \right )-\log _{8}\left (2x-3 \right )=\frac{2}{3}, \log _{8}\frac{\left ( 2x-2 \right )^{2}}{\left (2x-3 \right )}=4, x^{2}-4x+4=0, \left ( x-2 \right )^{2}=0 \), откуда \( x=2 \)

Ответ: 2

Решение №15723: ОДЗ: \( 2^{x+1}-3> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( \log _{2}\left ( 2^{2x}+4 \right )-\log _{2}\left ( 2*2^{x}-3 \right )=x, \log _{2}\frac{2^{2x}+4}{2*2^{x}-3}=x, \frac{2^{2x}+4}{2*2^{x}-3}=2^{x}, 2^{2x}-3*2^{x}-4=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), получаем \( 2^{x}=-1, \varnothing \); или \( 2^{x}=4 \), откуда \( x=2 \)

Ответ: 2

Решение №15724: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 1, & & \\ 0< a\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Из условия имеем \( \log _{a}x+\log _{a}\left ( x-1 \right )=\log _{a}2 \Rightarrow \log _{a}x\left ( x-1 \right )=\log _{a}2 \), откуда \( x^{2}-x-2=0 \Rightarrow x_{1}=2, x_{2}=-1; x_{2}=-1 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 2

Решение №15725: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 3, тогда \( \frac{3x^{2}}{\log _{3}x}*\frac{\log _{3}x}{2}=x+4 \Leftrightarrow 3x^{2}-2x-8=0 \), откуда \( x_{1}=2, x_{2}=-\frac{4}{3}; x_{2}=-\frac{4}{3} \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 2

Решение №15726: ОДЗ: \( x> 1 \) Из условия имеем \( \left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}x+1}*\left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}x-1}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow \left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}\left ( x+1 \right )+\log_{3}\left ( x-1 \right )}=\frac{3}{5} \Rightarrow \log_{3}\left ( x+1 \right )+\log_{3}\left ( x-1 \right )=1 \Rightarrow \log_{3}\left ( x^{2}-1 \right )=1, x^{2}-1=3, x^{2}=4 \) Отсюда \( x_{1}=-2, x_{2}=2; x_{1}=-2 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 2

Решение №15727: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< 5x+3\neq 1, & & \\ 0< 3x+7\neq 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x> -\frac{3}{5}, x\neq -\frac{2}{5} \) Умножив уравнение на \( \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right \)neq 0 \), получим \( \log_{3x+7}^{2}\left ( 5x+3 \right )-2\log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )+1=0 \Leftrightarrow \left ( \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )-1 \right )^{2}=0 \Leftrightarrow \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )=1 \Leftrightarrow 5x+3=3x+7, x=2 \)

Ответ: 2

Решение №15728: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия имеем \( \frac{1}{3}\log _{2}x+\sqrt[3]{\log _{2}x}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow \log _{2}x+3\sqrt[3]{\log _{2}x}-4=0 \) Пусть \( \sqrt[3]{\log _{2}x}=y \) Относительно \( y \) уравнение принимает вид \( y^{3}-3y-4=0 \Leftrightarrow \left ( y^{3}-1 \right )+\left ( 3y-3 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+y+1 \right )+3\left ( y-1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+y+4 \right )=0 \), откуда \( y-1=0 \), так как \( y^{2}+y+4> 0 \) Тогда \( y=1, \sqrt[3]{\log _{2}x}=1, \log _{2}x=1, x=2\)

Ответ: 2

Решение №15729: ОДЗ: \( x-2> 0, x > 2 \) Из условия имеем \( \log _{5}\left ( x-2 \right )+2\log _{5}\left ( x^{3}-2 \right )-\log _{5}\left ( x-2 \right )=4, \log _{5}\left ( x^{3}-2 \right ) =2 \) , откуда \( x^{3}-2=25, x^{3}=27 \) Тогда \( x=3 \)

Ответ: 3

Решение №15730: ОДЗ: \( 3^{x}-2^{4-x}> 0 \) . Из условия \( \lg \left ( 3^{x}-2^{4-x} \right )=\lg 100+\lg 2-\lg 2^{x}\Rightarrow \lg \left ( 3^{x}-2^{4-x} \right )=\lg \frac{100*2}{2^{x}}, 3^{x}-2^{4-x}=\frac{200}{2^{ x}} \) . Отсюда \( 6^{x}=216 \), откуда \( x=3 \) .

Ответ: 3

Решение №15731: \( 3^{2+5+8+...+3n-1}=3^{15} , 2+5+8+...3n-1=15 \) В левой части уравнения имеем сумму членов арифметической прогресии \( S_{k} \), где \( a_{1}=2 , d=3 , a_{k}=3n-1 , k=\frac{a_{k}-a_{1}}{d}+1=\frac{3n-1-2}{3}+1 = n \) Тогда \( S_{k}=\frac{a_{1}+a_{k}}{2}*k=\frac{2+3n-1}{2} *n= \frac{ 3n^{ 2} +n}{ 2} \), и уравнение принимает вид \( \frac{ 3n^{ 2} +n}{ 2}=15, 3n^{2}+n-30=0 \) , откуда \( n = 3 \)

Ответ: 3

Решение №15732: Из условия \( 2^{2x}-5*2^{x}-24= 0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), получим \( 2^{x}=-3, \varnothing \); или \( 2^{x}=8 \), откуда \( x=3 \)

Ответ: 3

Решение №15733: Из условия \( \frac{2x+10}{4}=\frac{9}{2^{x}*2^{-2}}, \frac{2x+10}{4}=\frac{36}{2^{x}}, 2^{2x}+10*2^{x}-144=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), найдем \( 2^{x}=-18, \varnothing \), или \( 2^{x}=8 \), откуда \( x=3 \)

Ответ: 3

Решение №15734: ОДЗ: \( 4^{3x}+3x-9> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( \log _{12}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )+\log _{12}27^{x}=3x \Rightarrow \log _{12}27^{x}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )=3x \), откуда \( 27^{x}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )=12^{3x} \Leftrightarrow 4^{3x}+3x-9=4^{3x}, 3x-9=0, x=3 \)

Ответ: 3

Решение №15735: ОДЗ: \( x\geq 2 \) Перепишем уравнение в виде \( 49*7^{2\sqrt{x-2}}-344*7^{\sqrt{x-2}}+7=0 \), Решая его как квадратное относительно \( 7^{\sqrt{x-2}} \), получим \( \left ( 7^{\sqrt{x-2}} \right )_{1}=7^{-2} \), или \( \left ( 7^{\sqrt{x-2}} \right )_{2}=7 \), откуда \( \left ( \sqrt{x-2} \right )_{1}=-2 \), (нет решений), или \( \left ( \sqrt{x-2} \right )_{2}=1, x_{2}=3 \)

Ответ: 3

Решение №15736: Перепишем уравнение в виде \( 5^{x}*8^{x-1}=500 \Leftrightarrow \frac{5^{x}*8}{8^{1/x}}=500 \Leftrightarrow \frac{5^{x}*2}{8^{1/x}}=125 \Leftrightarrow 5^{x-3}=2^{3/x-1} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-3=0, & & \\ \frac{3}{x}-1=0, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x=3 \)

Ответ: 3

Решение №15737: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2x^{3}+2x^{2}-3x+1 & & \\ -1< x\neq 0 & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( 2x^{3}+2x^{2}-3x+1=\left ( 1+x \right )^{3}\Leftrightarrow 2x^{3}+2x^{2}-3x+1=1+3x+3x^{2}+x^{3} \Leftrightarrow x^{3}+x^{2}-6x=0 \Leftrightarrow x\left ( x^{2}-x-6 \right )=0 \), откуда \( x_{1}=0, x_{2}=-2, x_{3}=3; x_{1}=0, x_{2}=-2 не подходят по ОДЗ.

Ответ: 3

Решение №15738: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Имеем \( 2^{\frac{1}{\sqrt{x}-1}}*2^{-\frac{1}{\sqrt{x}+1}}=2^{\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}}, 2^{\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}}= 2^{\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}} \) Тогда \( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}, x-\sqrt{x}-2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{x} \), найдем \( \sqrt{x}=-1,\varnothing \), или \( \sqrt{ x}= 2 \), откуда имеем \( x=4 \)

Ответ: 4

Решение №15739: В правой части - сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( S \), где \( b_{1}=6.5; q=\frac{3.25}{6.5}=0.5 \Rightarrow S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{6.5}{1-0.5}=13 \) Перепишем уравнение в виде \( \frac{2^{x}}{2}+\frac{2^{x}}{16}\frac{2^{x}}{4}=13 \Leftrightarrow \frac{13}{16}*2^{x}=13 , 2^{x}=16 \), откуда \( x=4 \)

Ответ: 4

Решение №15740: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & & & \\ x\neq \frac{1}{16} & & & & \\ x\neq \frac{1}{16} & & & & \\ x\neq 1 & & & & \end{matrix}\right. Переходим к основанию 2. Имеем \( \frac{\frac{\log _{2}2}{\log _{2}4\sqrt{x}}}{\frac{\log _{2}2}{\log _{2}2x}}+\frac{\log _{2}2}{\log _{2}2x}*\frac{\log _{2}2x}{\log _{2}\frac{1}{2}}=0 \Leftrightarrow \frac{1+\log _{2}x}{2+\frac{1}{2}\log _{2}2}-1=0 \), откуда \( \log _{2}x=2 , x=4 \)

Ответ: 4

Решение №15741: \( 2^{x} + 2^{-x}=\sqrt{\left ( 2^{x} + 2^{-x} \right )^{2}}=\sqrt{4^{x} + 4^{-x}+2}= \sqrt{ 23 +2}= \sqrt{ 25} = 5 \)

Ответ: 5

Решение №15742: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x+3> 0& & & \\ x^{2}-9> 0, 3< x \leq 7 & & & \\ 7-x \geq 0 & & & \end{matrix} \right \) Из условия имеем \( \left (2^{ -2} \right )^{\log _{2}\sqrt{x+3}-0.5\log _{2}\left ( x^{2}-9 \right )}= \sqrt{ 2 \left ( 7 - x \right )}\Rightarrow 2^{\log _{2}\left ( \sqrt{x+3} \right )^{-2}}*2^{\log _{2}\left ( x^{2}-9 \right )}=\sqrt{2\left ( 7-x \right )},\left ( \sqrt{x+3} \right )^{-2}\left ( x^{2}-9 \right )=\sqrt{2\left ( 7-x \right )}, \frac{x^{2}-9}{x+3}, x -3 = \sqrt{ 2 \left ( 7 -x \right )} \) Следовательно, \( x^{2}- 4x -5=0 \) при \( x> 3.\Rightarrow x_{1}=5, x_{2}=-1; x_{2} = -1 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 5

Решение №15743: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия \( 4*4^{2\log _{5}x}-15*4^{\log _{5}x}-4=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 4^{\log _{5}x} \), найдем \( 4^{\log _{5}x}=-\frac{1}{4}, \varnothing \); или \( 4^{\log _{5}x}=4 \), откуда \( \log _{5}x=1, x=5 \)

Ответ: 5

Решение №15744: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-3> 0 & & \\ x+3> 0 & & \end{matrix}\right.x> 3 \) Имеем \( \lg \sqrt{x-3}+\lg \sqrt{x+3}=\lg 100-\lg 25, \lg \sqrt{x^{2}-9}=\lg 4, \sqrt{x^{2}-9}=4 \), откуда \( x^{2}=25, x_{1}=-5, x_{2}=5, x_{1}=-5 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 5

Решение №15745: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x\neq 0 & \\ 6x-5> 0 & \end{matrix}\right. \frac{5}{6}< x\neq 1 \) Имеем \( \lg x^{2}=\lg \left ( 6x-5 \right ) \), откуда \( x^{2}=6x-5 , x^{2}-6x+5=0 \), отсюда \( x_{1}=5 , x_{2}=1 ; x_{2}=1 \) не подходит по ОДЗ.

Ответ: 5

Решение №15746: ОДЗ: \( x> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 2^{2\log _{5}x}-2*2^{\log _{5}x}+\frac{2^{\log _{5}x}}{2}-1=0\Leftrightarrow 2*2^{2\log _{5}x}-3*2^{\log _{5}x}-2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\log _{5}x} \), найдем \( 2^{\log _{5}x}=-\frac{1}{2} \) (не подходит) или \( 2^{\log _{5}x}=2 \), откуда \( \log _{5}x=1, x=5 \)

Ответ: 5

Решение №15747: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x+20> 0, & & \\ 0< x\neq 1 & & \end{matrix}\right. 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 10. Имеем \( \left ( \lg \left ( x+20 \right )-\lg x \right \)left ( -\frac{1}{\lg x} \right )=-1 \Leftrightarrow \lg \left ( x+20 \right )-\lg x=\lg x\Leftrightarrow \lg \left ( x+20 \right )=2\lg x \Leftrightarrow \lg \left ( x+20 \right )=\lg x^{2} \) Тогда \( x+20=x^{2}, x^{2}-x-20=0 \), откуда \( x_{1}=-4, x_{2}=5; x_{1}=-4 не подходит по ОДЗ.

Ответ: 5

Решение №15748: ОДЗ: \( \log _{5}x\geq 0 \), или \( x\geq 1 \) Перепишем уравнение в виде \( \sqrt[6]{\log _{5}x}^{3}+\sqrt[6]{\log _{5}x}^{2}-2=0 \) Пусть \( \sqrt[6]{\log _{5}x}=y \) Относительно \( y \), уравнение принимает вид \( y^{3}+y^{2}-2=0 \Leftrightarrow \left ( y^{3}-1 \right )+\left ( y^{2}-1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+y+1 \right )+\left ( y-1 \right \)left ( y+1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+2y+2 \right )=0 \), откуда \( y-1=0 \), так как \( y^{2}+2y+2> 0 \) Получили \( \sqrt[6]{\log _{5}x}=1 , \log _{5}x=1 , x=5 \)

Ответ: 5

Решение №15749: ОДЗ: \( 2x-7\geq 0, x \geq \frac{7}{2} \) Из условия \( \log _{5}\left ( \sqrt{2x-7}+1 \right )=\frac{1}{2}\log _{5}\left ( \sqrt{2x-7}+7 \right ) , \log _{5}\left ( \sqrt{2x-7}+1 \right )=\log _{5} \sqrt{ \sqrt{2x-7} +7} \), откуда \( \sqrt{2x-7}+1=\sqrt{\sqrt{2x-7}+7}\Rightarrow \left ( \sqrt{2x-7} \right )^{2}+2\sqrt{2x-7}+1=\sqrt{2x-7}+7, \left ( \sqrt{2x-7} \right )^{2}+\sqrt{2x-7}-6=0 \) Решив это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{2x-7} \), Найдем \( \sqrt{2x-7}=-3, \varnothing \); или \( \sqrt{2x-7}=2 \), откуда \( x= 5.5 \)

Ответ: 5.5

Решение №15750: ОДЗ: \( \frac{x-5}{x+5}> 0 \) или \( x\epsilon \left ( - \infty;-5 \right \)cup \left ( 5;\infty \right ) \) Имеем \( \log _{2}\frac{\left ( x-5 \right \)left ( x^{2}-25 \right )}{x+5}=0, \left ( x -5 \right )^{ 2}= 1 \), откуда \( x-5=-1 x-5=1 \) Тогда \( x_{1}=4, x_{2}=6; x_{1}=4 \)

Ответ: 6

Решение №15751: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x< 12, & & \\ x\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию 3. Тогда получаем \( \frac{1+\frac{2\log _{3}2}{\log _{3}9}}{\frac{\log _{3}x}{\log _{3}9}}-1=\frac{2}{\log _{3}x}*\frac{\log _{3}\left ( 12-x \right )}{\log _{3}9} \Leftrightarrow \frac{2+2\log _{3}2}{\log _{3}x}-1=\frac{\log _{3}\left ( 12-x \right )}{\log _{3}x} \Leftrightarrow \frac{2+2\log _{3}2-\log _{3}x}{\log _{3}x}=\frac{\log _{3}\left ( 12-x \right )}{\log _{3}x} \Leftrightarrow 2+2\log _{3}2-\log _{3}x=\log _{3}\left ( 12-x \right ) \Leftrightarrow 2+2\log _{3}2=\log _{3}x+\log _{3}\left ( 12-x \right ) \Leftrightarrow \log _{3}9+\log _{3}4=\log _{3}x+\log _{3}\left ( 12-x \right ), \log _{3}36=\log _{3}\left ( 12-x \right ) \), откуда \( 36=x\left ( 12-x \right ) \), или \( x^{2}-12x+36=0, \left ( x-6 \right )^{2}=0, x=6 \)

Ответ: 6