Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15722: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2x-2> 0 & & \\ 2x-3> 0 & & \end{matrix}\right. x> \frac{3}{2} \) Имеем \( 4^{2\log _{8}\left ( 2x-2 \right )}*4^{-\log _{8}\left (2x-3 \right )}=4^{\frac{2}{3}}, 4^{2\log _{8}\left ( 2x-2 \right )-\log _{8}\left (2x-3 \right )}=4^{\frac{2}{3}}, 2\log _{8}\left ( 2x-2 \right )-\log _{8}\left (2x-3 \right )=\frac{2}{3}, \log _{8}\frac{\left ( 2x-2 \right )^{2}}{\left (2x-3 \right )}=4, x^{2}-4x+4=0, \left ( x-2 \right )^{2}=0 \), откуда \( x=2 \)
Ответ: 2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15723: ОДЗ: \( 2^{x+1}-3> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( \log _{2}\left ( 2^{2x}+4 \right )-\log _{2}\left ( 2*2^{x}-3 \right )=x, \log _{2}\frac{2^{2x}+4}{2*2^{x}-3}=x, \frac{2^{2x}+4}{2*2^{x}-3}=2^{x}, 2^{2x}-3*2^{x}-4=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), получаем \( 2^{x}=-1, \varnothing \); или \( 2^{x}=4 \), откуда \( x=2 \)
Ответ: 2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15724: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 1, & & \\ 0< a\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Из условия имеем \( \log _{a}x+\log _{a}\left ( x-1 \right )=\log _{a}2 \Rightarrow \log _{a}x\left ( x-1 \right )=\log _{a}2 \), откуда \( x^{2}-x-2=0 \Rightarrow x_{1}=2, x_{2}=-1; x_{2}=-1 \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: 2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15725: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 3, тогда \( \frac{3x^{2}}{\log _{3}x}*\frac{\log _{3}x}{2}=x+4 \Leftrightarrow 3x^{2}-2x-8=0 \), откуда \( x_{1}=2, x_{2}=-\frac{4}{3}; x_{2}=-\frac{4}{3} \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: 2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15726: ОДЗ: \( x> 1 \) Из условия имеем \( \left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}x+1}*\left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}x-1}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow \left ( \frac{3}{5} \right )^{\log_{3}\left ( x+1 \right )+\log_{3}\left ( x-1 \right )}=\frac{3}{5} \Rightarrow \log_{3}\left ( x+1 \right )+\log_{3}\left ( x-1 \right )=1 \Rightarrow \log_{3}\left ( x^{2}-1 \right )=1, x^{2}-1=3, x^{2}=4 \) Отсюда \( x_{1}=-2, x_{2}=2; x_{1}=-2 \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: 2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15727: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< 5x+3\neq 1, & & \\ 0< 3x+7\neq 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x> -\frac{3}{5}, x\neq -\frac{2}{5} \) Умножив уравнение на \( \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right \)neq 0 \), получим \( \log_{3x+7}^{2}\left ( 5x+3 \right )-2\log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )+1=0 \Leftrightarrow \left ( \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )-1 \right )^{2}=0 \Leftrightarrow \log_{3x+7}\left ( 5x+3 \right )=1 \Leftrightarrow 5x+3=3x+7, x=2 \)
Ответ: 2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15728: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия имеем \( \frac{1}{3}\log _{2}x+\sqrt[3]{\log _{2}x}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow \log _{2}x+3\sqrt[3]{\log _{2}x}-4=0 \) Пусть \( \sqrt[3]{\log _{2}x}=y \) Относительно \( y \) уравнение принимает вид \( y^{3}-3y-4=0 \Leftrightarrow \left ( y^{3}-1 \right )+\left ( 3y-3 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+y+1 \right )+3\left ( y-1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+y+4 \right )=0 \), откуда \( y-1=0 \), так как \( y^{2}+y+4> 0 \) Тогда \( y=1, \sqrt[3]{\log _{2}x}=1, \log _{2}x=1, x=2\)
Ответ: 2
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15729: ОДЗ: \( x-2> 0, x > 2 \) Из условия имеем \( \log _{5}\left ( x-2 \right )+2\log _{5}\left ( x^{3}-2 \right )-\log _{5}\left ( x-2 \right )=4, \log _{5}\left ( x^{3}-2 \right ) =2 \) , откуда \( x^{3}-2=25, x^{3}=27 \) Тогда \( x=3 \)
Ответ: 3
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15730: ОДЗ: \( 3^{x}-2^{4-x}> 0 \) . Из условия \( \lg \left ( 3^{x}-2^{4-x} \right )=\lg 100+\lg 2-\lg 2^{x}\Rightarrow \lg \left ( 3^{x}-2^{4-x} \right )=\lg \frac{100*2}{2^{x}}, 3^{x}-2^{4-x}=\frac{200}{2^{ x}} \) . Отсюда \( 6^{x}=216 \), откуда \( x=3 \) .
Ответ: 3
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15731: \( 3^{2+5+8+...+3n-1}=3^{15} , 2+5+8+...3n-1=15 \) В левой части уравнения имеем сумму членов арифметической прогресии \( S_{k} \), где \( a_{1}=2 , d=3 , a_{k}=3n-1 , k=\frac{a_{k}-a_{1}}{d}+1=\frac{3n-1-2}{3}+1 = n \) Тогда \( S_{k}=\frac{a_{1}+a_{k}}{2}*k=\frac{2+3n-1}{2} *n= \frac{ 3n^{ 2} +n}{ 2} \), и уравнение принимает вид \( \frac{ 3n^{ 2} +n}{ 2}=15, 3n^{2}+n-30=0 \) , откуда \( n = 3 \)
Ответ: 3
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15732: Из условия \( 2^{2x}-5*2^{x}-24= 0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), получим \( 2^{x}=-3, \varnothing \); или \( 2^{x}=8 \), откуда \( x=3 \)
Ответ: 3
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15733: Из условия \( \frac{2x+10}{4}=\frac{9}{2^{x}*2^{-2}}, \frac{2x+10}{4}=\frac{36}{2^{x}}, 2^{2x}+10*2^{x}-144=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{x} \), найдем \( 2^{x}=-18, \varnothing \), или \( 2^{x}=8 \), откуда \( x=3 \)
Ответ: 3
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15734: ОДЗ: \( 4^{3x}+3x-9> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( \log _{12}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )+\log _{12}27^{x}=3x \Rightarrow \log _{12}27^{x}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )=3x \), откуда \( 27^{x}\left ( 4^{3x}+3x-9 \right )=12^{3x} \Leftrightarrow 4^{3x}+3x-9=4^{3x}, 3x-9=0, x=3 \)
Ответ: 3
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15735: ОДЗ: \( x\geq 2 \) Перепишем уравнение в виде \( 49*7^{2\sqrt{x-2}}-344*7^{\sqrt{x-2}}+7=0 \), Решая его как квадратное относительно \( 7^{\sqrt{x-2}} \), получим \( \left ( 7^{\sqrt{x-2}} \right )_{1}=7^{-2} \), или \( \left ( 7^{\sqrt{x-2}} \right )_{2}=7 \), откуда \( \left ( \sqrt{x-2} \right )_{1}=-2 \), (нет решений), или \( \left ( \sqrt{x-2} \right )_{2}=1, x_{2}=3 \)
Ответ: 3
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15736: Перепишем уравнение в виде \( 5^{x}*8^{x-1}=500 \Leftrightarrow \frac{5^{x}*8}{8^{1/x}}=500 \Leftrightarrow \frac{5^{x}*2}{8^{1/x}}=125 \Leftrightarrow 5^{x-3}=2^{3/x-1} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-3=0, & & \\ \frac{3}{x}-1=0, & & \end{matrix}\right. \), откуда \( x=3 \)
Ответ: 3
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15737: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 2x^{3}+2x^{2}-3x+1 & & \\ -1< x\neq 0 & & \end{matrix}\right. \) Имеем \( 2x^{3}+2x^{2}-3x+1=\left ( 1+x \right )^{3}\Leftrightarrow 2x^{3}+2x^{2}-3x+1=1+3x+3x^{2}+x^{3} \Leftrightarrow x^{3}+x^{2}-6x=0 \Leftrightarrow x\left ( x^{2}-x-6 \right )=0 \), откуда \( x_{1}=0, x_{2}=-2, x_{3}=3; x_{1}=0, x_{2}=-2 не подходят по ОДЗ.
Ответ: 3
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15738: ОДЗ: \( 0< x\neq 1 \) Имеем \( 2^{\frac{1}{\sqrt{x}-1}}*2^{-\frac{1}{\sqrt{x}+1}}=2^{\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}}, 2^{\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}}= 2^{\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}} \) Тогда \( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}, x-\sqrt{x}-2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{x} \), найдем \( \sqrt{x}=-1,\varnothing \), или \( \sqrt{ x}= 2 \), откуда имеем \( x=4 \)
Ответ: 4
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15739: В правой части - сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( S \), где \( b_{1}=6.5; q=\frac{3.25}{6.5}=0.5 \Rightarrow S=\frac{b_{1}}{1-q}=\frac{6.5}{1-0.5}=13 \) Перепишем уравнение в виде \( \frac{2^{x}}{2}+\frac{2^{x}}{16}\frac{2^{x}}{4}=13 \Leftrightarrow \frac{13}{16}*2^{x}=13 , 2^{x}=16 \), откуда \( x=4 \)
Ответ: 4
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15740: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x> 0, & & & & \\ x\neq \frac{1}{16} & & & & \\ x\neq \frac{1}{16} & & & & \\ x\neq 1 & & & & \end{matrix}\right. Переходим к основанию 2. Имеем \( \frac{\frac{\log _{2}2}{\log _{2}4\sqrt{x}}}{\frac{\log _{2}2}{\log _{2}2x}}+\frac{\log _{2}2}{\log _{2}2x}*\frac{\log _{2}2x}{\log _{2}\frac{1}{2}}=0 \Leftrightarrow \frac{1+\log _{2}x}{2+\frac{1}{2}\log _{2}2}-1=0 \), откуда \( \log _{2}x=2 , x=4 \)
Ответ: 4
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15741: \( 2^{x} + 2^{-x}=\sqrt{\left ( 2^{x} + 2^{-x} \right )^{2}}=\sqrt{4^{x} + 4^{-x}+2}= \sqrt{ 23 +2}= \sqrt{ 25} = 5 \)
Ответ: 5
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15742: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x+3> 0& & & \\ x^{2}-9> 0, 3< x \leq 7 & & & \\ 7-x \geq 0 & & & \end{matrix} \right \) Из условия имеем \( \left (2^{ -2} \right )^{\log _{2}\sqrt{x+3}-0.5\log _{2}\left ( x^{2}-9 \right )}= \sqrt{ 2 \left ( 7 - x \right )}\Rightarrow 2^{\log _{2}\left ( \sqrt{x+3} \right )^{-2}}*2^{\log _{2}\left ( x^{2}-9 \right )}=\sqrt{2\left ( 7-x \right )},\left ( \sqrt{x+3} \right )^{-2}\left ( x^{2}-9 \right )=\sqrt{2\left ( 7-x \right )}, \frac{x^{2}-9}{x+3}, x -3 = \sqrt{ 2 \left ( 7 -x \right )} \) Следовательно, \( x^{2}- 4x -5=0 \) при \( x> 3.\Rightarrow x_{1}=5, x_{2}=-1; x_{2} = -1 \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15743: ОДЗ: \( x> 0 \) Из условия \( 4*4^{2\log _{5}x}-15*4^{\log _{5}x}-4=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 4^{\log _{5}x} \), найдем \( 4^{\log _{5}x}=-\frac{1}{4}, \varnothing \); или \( 4^{\log _{5}x}=4 \), откуда \( \log _{5}x=1, x=5 \)
Ответ: 5
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15744: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x-3> 0 & & \\ x+3> 0 & & \end{matrix}\right.x> 3 \) Имеем \( \lg \sqrt{x-3}+\lg \sqrt{x+3}=\lg 100-\lg 25, \lg \sqrt{x^{2}-9}=\lg 4, \sqrt{x^{2}-9}=4 \), откуда \( x^{2}=25, x_{1}=-5, x_{2}=5, x_{1}=-5 \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15745: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x\neq 0 & \\ 6x-5> 0 & \end{matrix}\right. \frac{5}{6}< x\neq 1 \) Имеем \( \lg x^{2}=\lg \left ( 6x-5 \right ) \), откуда \( x^{2}=6x-5 , x^{2}-6x+5=0 \), отсюда \( x_{1}=5 , x_{2}=1 ; x_{2}=1 \) не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15746: ОДЗ: \( x> 0 \) Перепишем уравнение в виде \( 2^{2\log _{5}x}-2*2^{\log _{5}x}+\frac{2^{\log _{5}x}}{2}-1=0\Leftrightarrow 2*2^{2\log _{5}x}-3*2^{\log _{5}x}-2=0 \) Решая это уравнение как квадратное относительно \( 2^{\log _{5}x} \), найдем \( 2^{\log _{5}x}=-\frac{1}{2} \) (не подходит) или \( 2^{\log _{5}x}=2 \), откуда \( \log _{5}x=1, x=5 \)
Ответ: 5
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15747: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} x+20> 0, & & \\ 0< x\neq 1 & & \end{matrix}\right. 0< x\neq 1 \) Перейдем к основанию 10. Имеем \( \left ( \lg \left ( x+20 \right )-\lg x \right \)left ( -\frac{1}{\lg x} \right )=-1 \Leftrightarrow \lg \left ( x+20 \right )-\lg x=\lg x\Leftrightarrow \lg \left ( x+20 \right )=2\lg x \Leftrightarrow \lg \left ( x+20 \right )=\lg x^{2} \) Тогда \( x+20=x^{2}, x^{2}-x-20=0 \), откуда \( x_{1}=-4, x_{2}=5; x_{1}=-4 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15748: ОДЗ: \( \log _{5}x\geq 0 \), или \( x\geq 1 \) Перепишем уравнение в виде \( \sqrt[6]{\log _{5}x}^{3}+\sqrt[6]{\log _{5}x}^{2}-2=0 \) Пусть \( \sqrt[6]{\log _{5}x}=y \) Относительно \( y \), уравнение принимает вид \( y^{3}+y^{2}-2=0 \Leftrightarrow \left ( y^{3}-1 \right )+\left ( y^{2}-1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+y+1 \right )+\left ( y-1 \right \)left ( y+1 \right )=0 \Leftrightarrow \left ( y-1 \right \)left ( y^{2}+2y+2 \right )=0 \), откуда \( y-1=0 \), так как \( y^{2}+2y+2> 0 \) Получили \( \sqrt[6]{\log _{5}x}=1 , \log _{5}x=1 , x=5 \)
Ответ: 5
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15749: ОДЗ: \( 2x-7\geq 0, x \geq \frac{7}{2} \) Из условия \( \log _{5}\left ( \sqrt{2x-7}+1 \right )=\frac{1}{2}\log _{5}\left ( \sqrt{2x-7}+7 \right ) , \log _{5}\left ( \sqrt{2x-7}+1 \right )=\log _{5} \sqrt{ \sqrt{2x-7} +7} \), откуда \( \sqrt{2x-7}+1=\sqrt{\sqrt{2x-7}+7}\Rightarrow \left ( \sqrt{2x-7} \right )^{2}+2\sqrt{2x-7}+1=\sqrt{2x-7}+7, \left ( \sqrt{2x-7} \right )^{2}+\sqrt{2x-7}-6=0 \) Решив это уравнение как квадратное относительно \( \sqrt{2x-7} \), Найдем \( \sqrt{2x-7}=-3, \varnothing \); или \( \sqrt{2x-7}=2 \), откуда \( x= 5.5 \)
Ответ: 5.5
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15750: ОДЗ: \( \frac{x-5}{x+5}> 0 \) или \( x\epsilon \left ( - \infty;-5 \right \)cup \left ( 5;\infty \right ) \) Имеем \( \log _{2}\frac{\left ( x-5 \right \)left ( x^{2}-25 \right )}{x+5}=0, \left ( x -5 \right )^{ 2}= 1 \), откуда \( x-5=-1 x-5=1 \) Тогда \( x_{1}=4, x_{2}=6; x_{1}=4 \)
Ответ: 6
Экзамены с этой задачей: Математика ЕГЭ математика профиль Уравнения (С1) Уравнения смешанного типа
Предмет и тема: Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные логарифмические и показательные выражения и уравнения,
Задача в следующих классах: 10 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Егерев В. К., Зайцев В. В., Кордемский Б. А., Маслова Т. Н., Орловская И. Ф., Позойский Р. И., Ряховская Г. С., Сканави М. И. Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов во ВТУЗы / Под общей редакцией М. И. Сканави. — М.: Высшая школа, 1969. — 382 с.
Решение №15751: ОДЗ: \( \left\{\begin{matrix} 0< x< 12, & & \\ x\neq 1 & & \end{matrix}\right. \) Перейдем к основанию 3. Тогда получаем \( \frac{1+\frac{2\log _{3}2}{\log _{3}9}}{\frac{\log _{3}x}{\log _{3}9}}-1=\frac{2}{\log _{3}x}*\frac{\log _{3}\left ( 12-x \right )}{\log _{3}9} \Leftrightarrow \frac{2+2\log _{3}2}{\log _{3}x}-1=\frac{\log _{3}\left ( 12-x \right )}{\log _{3}x} \Leftrightarrow \frac{2+2\log _{3}2-\log _{3}x}{\log _{3}x}=\frac{\log _{3}\left ( 12-x \right )}{\log _{3}x} \Leftrightarrow 2+2\log _{3}2-\log _{3}x=\log _{3}\left ( 12-x \right ) \Leftrightarrow 2+2\log _{3}2=\log _{3}x+\log _{3}\left ( 12-x \right ) \Leftrightarrow \log _{3}9+\log _{3}4=\log _{3}x+\log _{3}\left ( 12-x \right ), \log _{3}36=\log _{3}\left ( 12-x \right ) \), откуда \( 36=x\left ( 12-x \right ) \), или \( x^{2}-12x+36=0, \left ( x-6 \right )^{2}=0, x=6 \)
Ответ: 6