Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Решение №41537: Пусть прямая пересекает стороны \(АВ\) и \(ВС\) треугольника \(АВС\) в точках \(М\) и \(К\), причём \(АМ = ВМ\) и \(ВК : СК = 2\). Отметим точку \(Е\) – середину отрезка \(ВК\). Тогда треугольники \(МВЕ, МЕК\) и \(МКС\) будут иметь равные площади, поскольку они имеют общую высоту и равные основания. Обозначим их площади буквой \(х\). Отрезок \(СМ\) – медиана треугольника \(АВС\), значит, он делит его площадь пополам. Следовательно, площадь треугольника \(АМС\) равна площади \(ВМС\) и равна \(3х\). Тогда площадь треугольника \(МВК\) будет равна \(2х\), а площадь четырёхугольника \(АМКС\) равна \(3х + х = 4х\). Значит, прямая \(МК\) делит площадь треугольника \(АВС\) в отношении \(2х : 4х = 1 : 2\). Ответ: 1 : 2.

Ответ: 1 : 2

Решение №41538: Пусть основания трапеции \(ВС\) и \(АD\), а точка \(М\) – середина её боковой стороны \(СD\). Поскольку отрезок \(АМ\) делит площадь трапеции в отношении 2 : 5, давайте обозначим площади её частей как \(2S\) и \(5S\). Если мы проведём диагональ \(АС\) трапеции, то отрезок \(АМ\) окажется медианой треугольника \(АСD\). Поэтому площадь треугольника \(АСМ\) будет равна \(2S\). Площадь же треугольника \(АВС\) тогда будет равна \(5S – 2S = 3S\). Рассмотрим теперь треугольники \(АВС\) и \(АСD\). Поскольку прямые \(ВС\) и \(АD\) параллельны, то высоты этих треугольников к этим сторонам будут одинаковы и равны высоте трапеции \(h\). Значит, площади этих треугольников относятся как основания данной трапеции, следовательно \(ВС : АD = 3S : 4S = 3 : 4\). Ответ: 1 : 2.

Ответ: 1 : 2

Решение №41539: Обозначим площадь всего параллелограмма \(S\) и выразим через неё площадь треугольника \(АЕD\). Обозначим её буквой \(х\) и проведём диагональ \(АС\). Поскольку \(АE\) – медиана треугольника \(АСD\), то площадь треугольника \(АСE\) тоже равна \(х\). Диагональ \(АС\) делит параллелограмм на два равных треугольника. Значит, площадь треугольника \(АBС\) будет равна \(2х\). Тогда для площади всего параллелограмма мы получаем уравнение \(S = х + х + 2х = 4х\). Откуда \(х = \frac{S}{4}\). То есть треугольник \(АЕD\) составляет четверть площади всего параллелограмма. Аналогично находим, что площадь треугольника \(CDK\) тоже равна \(\frac{S}{4}\). Итак, мы доказали, что площади треугольников \(АЕD\) и \(CКD\) равны. Но эти треугольники имеют общую часть – треугольник \(DОЕ\). Если мы вычтем его площадь из площадей данных двух треугольников, то получим площадь треугольника \(АОD\) и площадь четырёхугольника \(КОЕС\). Следовательно, эти площади тоже равны. Ч. т. д.

Ответ: NaN

Решение №41540: Обозначим площадь всего параллелограмма буквой \(S\) и вычислим площадь треугольника \(АКЕ\). Для этого из площади параллелограмма мы вычтем площади «крайних» треугольников \(АВК, АЕD\) и \(СЕК\). Как при решении предыдущей задачи, мы найдём, что площадь каждого из треугольников \(АВК\) и \(АЕD\) равна \(\frac{S}{4}\). Вычислим теперь площадь треугольника \(СЕК\). Обозначим её буквой \(x\) и проведём отрезки \(ВЕ\) и \(ВD\). Поскольку \(КЕ\) – медиана треугольника \(ВЕС\), то площадь треугольника \(ВКЕ\) будет тоже равна \(х\). В треугольнике \(ВСD\) отрезок \(ВЕ\) – тоже медиана, значит, площади треугольников \(ВЕD\) и \(ВЕС\) равны \(2x\). Диагональ \(ВD\) параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому площадь \(АВD\) будет равна \(4x\). Тогда мы получаем уравнение \(S = x + x + 2x + 4x = 8x\). Откуда \(x = \frac{S}{8}\). Следовательно, площадь треугольника \(АКЕ\) равна S – \frac{S}{4} – \frac{S}{4} – \frac{S}{8} = \frac{3}{8}S\). Поэтому площадь этого треугольника составляет \(\frac{3}{8}\) от площади параллелограмма. Ответ: \(\frac{3}{8}\).

Ответ: \(\frac{3}{8}\)

Решение №41541: Обозначим всего четырёхугольника буквой \(S\). По доказанному ранее нами свойству площадь четырёхугольника \(АКСЕ\) равна \(\frac{S}{2}\). Площадь четырёхугольника \(ВЕDК\) равна тоже \(\frac{S}{2}\). Если мы сложим площади этих четырёхугольников, то получим \(\frac{S}{2} + \frac{S}{2} = S\), то есть, площадь всего четырёх угольника \(АВСD\). При этом мы не учтём площади двух закрашенных треугольников, но зато два раза посчитаем площадь закрашенного четырёхугольника. Значит, площадь этого четырёхугольника должна быть равна сумме площадей закрашенных треугольников. Ч. т. д.

Ответ: NaN

Решение №41542: Пусть \(М\) – середина стороны \(ВС\) четырёхугольника \(АВСD\), причём треугольник \(АМD\) составляет ровно половину площади \(S\) всего четырёхугольника. Мы докажем, что стороны \(АВ\) и \(СD\) этого четырёхугольника должны быть параллельны. Сделаем дополнительное построение: продлим отрезок \(АМ\) на свою длину. То есть мы построим такую точку \(К\), что \(АМ = МК\). Легко доказать, что треугольники \(АВМ\) и \(КСМ\) равны по первому признаку, а прямые \(АВ\) и \(СК\) параллельны (проверьте это!) Значит, площади данных треугольников равны – мы обозначим их буквой \(х\). Площадь же треугольника \(СМD\) обозначим буквой \(y\). По условию должно быть \(х + y = \frac{S}{2}\). Кроме того, треугольники \(АМD\) и \(КМD\) имеют одинаковую площадь \(\frac{S}{2}\) , поскольку \(DМ\) – медиана в треугольнике \(АDК\). Нам осталось совсем немного. Посмотрите на треугольник \(СКD\) – мы обозначим его площадь буквой \(z\). Если точка \(С\) находится внутри треугольника \(DMK\), то должно быть \(х + y + z = \frac{S}{2}\). Но мы помним, что \(х + y = \frac{S}{2}\). Поэтому \(z = 0\). Если же точка \(С\) окажется вне треугольника \(DMK\), то будет \(х + y = \frac{S}{2} + z\). Значит, и в этом случае \(z = 0\). Когда такое может быть? Только тогда, когда точка \(С\) лежит на прямой \(DK\)! Но тогда прямая \(СD\) совпадёт с прямой \(СК\), которая параллельна прямой \(АВ\). Значит, стороны \(АВ\) и \(СD\) данного нам четырёхугольника должны быть параллельны. Ч. т. д.

Ответ: NaN

Решение №41543: Рассмотрим точку \(О\) пересечения его диагоналей \(АD\) и \(ВЕ\). Поскольку прямые \(АВ\) и \(ЕD\) параллельны, то треугольники \(АЕО\) и \(ВDО\) будут равновелики по свойству трапеции. Обозначим площади этих треугольников как \(S_{1}\) . Теперь рассмотрим точку \(М\) пересечения диагоналей \(ВЕ\) и \(FC\) шестиугольника. Поскольку его стороны \(ВС\) и \(ЕF\) тоже параллельны, то треугольники \(ЕСМ\) и \(ВFM\) будут равновелики по свойству трапеции. Обозначимих площади как \(S_{2}\) . Также из параллельности сторон \(AF\) и \(CD\) будет следовать равенство площадей треугольников \(АСК\) и \(DFK\), где \(К\) – точка пересечения диагоналей \(АD\) и \(СF\) данного шестиугольника. Мы обозначим их площади как \(S_{3}\) . Посмотрите теперь на нужные нам треугольники \(АЕС\) и \(ВFD\). Первый из них состоит из треугольника \(ОМК\) и трёх жёлтых треугольников с площадями \(S_{1}, S_{2}\) и \(S_{3}\). Второй – изтого же треугольника \(ОМК\) и трёх синих треугольников с такими же площадями \(S_{1}, S_{2}\) и \(S_{3}\). Значит, эти треугольники имеют равную площадь. Ч. т. д.

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN

Пока решения данной задачи,увы,нет...

Ответ: NaN