№41556

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Точки \(К\) и \(Е\) – середины сторон \(ВС\) и \(СD\) параллелограмма \(АВСD\). Отрезки \(АЕ\) и \(DK\) пересекаются в точке \(О\). Докажите, что площадь треугольника \(АОD\) равна площади четырёхугольника \(КОЕС\).

Ответ

NaN

Решение № 41539:

Обозначим площадь всего параллелограмма \(S\) и выразим через неё площадь треугольника \(АЕD\). Обозначим её буквой \(х\) и проведём диагональ \(АС\). Поскольку \(АE\) – медиана треугольника \(АСD\), то площадь треугольника \(АСE\) тоже равна \(х\). Диагональ \(АС\) делит параллелограмм на два равных треугольника. Значит, площадь треугольника \(АBС\) будет равна \(2х\). Тогда для площади всего параллелограмма мы получаем уравнение \(S = х + х + 2х = 4х\). Откуда \(х = \frac{S}{4}\). То есть треугольник \(АЕD\) составляет четверть площади всего параллелограмма. Аналогично находим, что площадь треугольника \(CDK\) тоже равна \(\frac{S}{4}\). Итак, мы доказали, что площади треугольников \(АЕD\) и \(CКD\) равны. Но эти треугольники имеют общую часть – треугольник \(DОЕ\). Если мы вычтем его площадь из площадей данных двух треугольников, то получим площадь треугольника \(АОD\) и площадь четырёхугольника \(КОЕС\). Следовательно, эти площади тоже равны. Ч. т. д.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/730-1.png'>