№41559

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Середину стороны четырёхугольника соединили с противоположными вершинами. Оказалось, что полученный треугольник составляет половину его площади. Докажите, что у этого четырёхугольника две стороны параллельны.

Ответ

NaN

Решение № 41542:

Пусть \(М\) – середина стороны \(ВС\) четырёхугольника \(АВСD\), причём треугольник \(АМD\) составляет ровно половину площади \(S\) всего четырёхугольника. Мы докажем, что стороны \(АВ\) и \(СD\) этого четырёхугольника должны быть параллельны. Сделаем дополнительное построение: продлим отрезок \(АМ\) на свою длину. То есть мы построим такую точку \(К\), что \(АМ = МК\). Легко доказать, что треугольники \(АВМ\) и \(КСМ\) равны по первому признаку, а прямые \(АВ\) и \(СК\) параллельны (проверьте это!) Значит, площади данных треугольников равны – мы обозначим их буквой \(х\). Площадь же треугольника \(СМD\) обозначим буквой \(y\). По условию должно быть \(х + y = \frac{S}{2}\). Кроме того, треугольники \(АМD\) и \(КМD\) имеют одинаковую площадь \(\frac{S}{2}\) , поскольку \(DМ\) – медиана в треугольнике \(АDК\). Нам осталось совсем немного. Посмотрите на треугольник \(СКD\) – мы обозначим его площадь буквой \(z\). Если точка \(С\) находится внутри треугольника \(DMK\), то должно быть \(х + y + z = \frac{S}{2}\). Но мы помним, что \(х + y = \frac{S}{2}\). Поэтому \(z = 0\). Если же точка \(С\) окажется вне треугольника \(DMK\), то будет \(х + y = \frac{S}{2} + z\). Значит, и в этом случае \(z = 0\). Когда такое может быть? Только тогда, когда точка \(С\) лежит на прямой \(DK\)! Но тогда прямая \(СD\) совпадёт с прямой \(СК\), которая параллельна прямой \(АВ\). Значит, стороны \(АВ\) и \(СD\) данного нам четырёхугольника должны быть параллельны. Ч. т. д.