№41557

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Точки \(К\) и \(Е\) – середины сторон \(ВС\) и \(СD\) параллелограмма \(АВСD\). Какую часть площади параллелограмма составляет треугольник \(АКЕ\)?

Ответ

\(\frac{3}{8}\)

Решение № 41540:

Обозначим площадь всего параллелограмма буквой \(S\) и вычислим площадь треугольника \(АКЕ\). Для этого из площади параллелограмма мы вычтем площади «крайних» треугольников \(АВК, АЕD\) и \(СЕК\). Как при решении предыдущей задачи, мы найдём, что площадь каждого из треугольников \(АВК\) и \(АЕD\) равна \(\frac{S}{4}\). Вычислим теперь площадь треугольника \(СЕК\). Обозначим её буквой \(x\) и проведём отрезки \(ВЕ\) и \(ВD\). Поскольку \(КЕ\) – медиана треугольника \(ВЕС\), то площадь треугольника \(ВКЕ\) будет тоже равна \(х\). В треугольнике \(ВСD\) отрезок \(ВЕ\) – тоже медиана, значит, площади треугольников \(ВЕD\) и \(ВЕС\) равны \(2x\). Диагональ \(ВD\) параллелограмма делит его на два равных треугольника, поэтому площадь \(АВD\) будет равна \(4x\). Тогда мы получаем уравнение \(S = x + x + 2x + 4x = 8x\). Откуда \(x = \frac{S}{8}\). Следовательно, площадь треугольника \(АКЕ\) равна S – \frac{S}{4} – \frac{S}{4} – \frac{S}{8} = \frac{3}{8}S\). Поэтому площадь этого треугольника составляет \(\frac{3}{8}\) от площади параллелограмма. Ответ: \(\frac{3}{8}\).