№41554

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Прямая делит одну сторону треугольника пополам, а другую – в отношении 2 : 1, считая от их общей вершины. В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника?

Ответ

1 : 2

Решение № 41537:

Пусть прямая пересекает стороны \(АВ\) и \(ВС\) треугольника \(АВС\) в точках \(М\) и \(К\), причём \(АМ = ВМ\) и \(ВК : СК = 2\). Отметим точку \(Е\) – середину отрезка \(ВК\). Тогда треугольники \(МВЕ, МЕК\) и \(МКС\) будут иметь равные площади, поскольку они имеют общую высоту и равные основания. Обозначим их площади буквой \(х\). Отрезок \(СМ\) – медиана треугольника \(АВС\), значит, он делит его площадь пополам. Следовательно, площадь треугольника \(АМС\) равна площади \(ВМС\) и равна \(3х\). Тогда площадь треугольника \(МВК\) будет равна \(2х\), а площадь четырёхугольника \(АМКС\) равна \(3х + х = 4х\). Значит, прямая \(МК\) делит площадь треугольника \(АВС\) в отношении \(2х : 4х = 1 : 2\). Ответ: 1 : 2.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/728-1.png'>