№41560

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Матвертикаль 8 класс, Волчкевич

Условие

Противоположные стороны шестиугольника \(АВСDEF\) попарно параллельны. Докажите, что треугольники \(АЕС\) и \(ВFD\) равновелики.

Ответ

NaN

Решение № 41543:

Рассмотрим точку \(О\) пересечения его диагоналей \(АD\) и \(ВЕ\). Поскольку прямые \(АВ\) и \(ЕD\) параллельны, то треугольники \(АЕО\) и \(ВDО\) будут равновелики по свойству трапеции. Обозначим площади этих треугольников как \(S_{1}\) . Теперь рассмотрим точку \(М\) пересечения диагоналей \(ВЕ\) и \(FC\) шестиугольника. Поскольку его стороны \(ВС\) и \(ЕF\) тоже параллельны, то треугольники \(ЕСМ\) и \(ВFM\) будут равновелики по свойству трапеции. Обозначимих площади как \(S_{2}\) . Также из параллельности сторон \(AF\) и \(CD\) будет следовать равенство площадей треугольников \(АСК\) и \(DFK\), где \(К\) – точка пересечения диагоналей \(АD\) и \(СF\) данного шестиугольника. Мы обозначим их площади как \(S_{3}\) . Посмотрите теперь на нужные нам треугольники \(АЕС\) и \(ВFD\). Первый из них состоит из треугольника \(ОМК\) и трёх жёлтых треугольников с площадями \(S_{1}, S_{2}\) и \(S_{3}\). Второй – изтого же треугольника \(ОМК\) и трёх синих треугольников с такими же площадями \(S_{1}, S_{2}\) и \(S_{3}\). Значит, эти треугольники имеют равную площадь. Ч. т. д.<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.ru-msk.vkcs.cloud/picture_to_tasks/math/volchkevich_8_matvertical/734-1, 734-2.png'>