Из большой партии изготовленных деталей по выборке объема \(n\) найдена средняя арифметическая длины детали, равная \(x_B\). Считая, что длина детали \(Х\) — нормально распределенная случайная величина, найдите доверительный интервал, который с доверительной вероятностью \(\alpha\) покрывает неизвестное математическое ожидание \(a\) длины детали, если генеральное среднее квадратическое отклонение \(\sigma = 0,5\) мм: \(\overline{x_B} = 50\) мм; \(n = 64\); \(\alpha = 0,95\).

Из большой партии изготовленных деталей по выборке объема \(n\) найдена средняя арифметическая длины детали, равная \(x_B\). Считая, что длина детали \(Х\) — нормально распределенная случайная величина, найдите доверительный интервал, который с доверительной вероятностью \(\alpha\) покрывает неизвестное математическое ожидание \(a\) длины детали, если генеральное среднее квадратическое отклонение \(\sigma = 0,5\) мм: \(\overline{x_B} = 51\) мм; \(n = 49\); \(\alpha = 0,99\).

Из большой партии изготовленных деталей по выборке объема \(n\) найдена средняя арифметическая длины детали, равная \(x_B\). Считая, что длина детали \(Х\) — нормально распределенная случайная величина, найдите доверительный интервал, который с доверительной вероятностью \(\alpha\) покрывает неизвестное математическое ожидание \(a\) длины детали, если генеральное среднее квадратическое отклонение \(\sigma = 0,5\) мм: \(\overline{x_B} = 52\) мм; \(n = 36\); \(\alpha = 0,999\).

Найдите минимальный объем выборки, при котором с доверительной вероятностью \(\alpha\) точность оценки математического ожидания \(а\) — длины детали генеральной совокупности по выборочной средней — равна \(\beta = 0,25\), если генеральное среднее квадратическое отклонение \(\sigma = 0,5\) мм и длина детали \(Х\) — нормально распределенная случайная величина \(\alpha =0,95\).

Найдите минимальный объем выборки, при котором с доверительной вероятностью \(\alpha\) точность оценки математического ожидания \(а\) — длины детали генеральной совокупности по выборочной средней — равна \(\beta = 0,25\), если генеральное среднее квадратическое отклонение \(\sigma = 0,5\) мм и длина детали \(Х\) — нормально распределенная случайная величина \(\alpha =0,99\).

Найдите минимальный объем выборки, при котором с доверительной вероятностью \(\alpha\) точность оценки математического ожидания \(а\) — длины детали генеральной совокупности по выборочной средней — равна \(\beta = 0,25\), если генеральное среднее квадратическое отклонение \(\sigma = 0,5\) мм и длина детали \(Х\) — нормально распределенная случайная величина \(\alpha =0,999\).

Лабораторная работа № 3. Задание: Проведите измерения толщины \(n\) спичек, Выбранных простым случайным бесповторным отбором из 300—400 спичек, изготовленных на одной фабрике. Измерения выполните микрометром с ценой деления 0,01 мм. Примечание: можно использовать данные, собранные при выполнении лабораторной работы № 2. Цель работы: oвладение методом составления доверительных интервалов для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном \(\sigma\) и для оценки среднего квадратического отклонения \(\sigma\) нормального распределения. Порядок выполнения лабораторной работы: 1). Составьте исходную таблицу \(n\) проведенных измерений, выбрав один из следующих вариантов решения задачи в таблице ниже. 2).Составьте статистическое распределение частот результатов полученных измерений. 3). Вычислите среднее арифметическое \(\overline{х_B}\), рассматриваемого признака \(Х\). 4). Вычислите исправленную среднюю квадратическую погрешность \(n\). измерений по формуле \(S=\sqrt{\frac{\sum n_i (x_i - \overline{x_B})^2}{n-1}}\). 5). Определите коэффициент Стьюдента \(t_{\alpha}\) для заданной доверительной вероятности \(\alpha\) и числа проведенных измерений и (из таблицы). 6). Найдите границы доверительного интервала для оценки математического ожидания а при заданной доверительной вероятности \(\alpha\), используя условие (66). 7). По данным \(\alpha\) и \(n\) найдите значение \(q\) (см. Приложение ниже). 8). Найдите границы доверительного интервала для оценки среднего квадратического отклонения \(\sigma\) при заданной доверительной вероятности с, используя условие (67). Примечание: величина точности оценки \(\beta = t_{\alpha} \frac{S}{\sqrt{n}}\) должна быть больше величины погрешности прибора. Найдите значения коэффициента \(t\) из условия \(\Phi (t)=\frac{\alpha }{2}\) для \(\alpha = 0,95; 0,99; 0,999\) и сравните их со значениями коэффициента Стьюдента \(t_{\alpha}\) при соответствующих значениях \(\alpha\) и различных значениях \(n\). Какой вывод из этого сравнения можно сделать? 2) Сравните точность оценки \(t_{\alpha}\frac{S}{\sqrt{n}}\) для различных значений \(n\) и \(\alpha\). При каких условиях точность оценки увеличивается?

Произведена случайная бесповторная выборжа десяти ампул. Данные исследования количественных признаков: \(Х\) — длина ампулы в мм и \(Y\) — объем ампулы в \(см^3\) — собраны в таблицу ниже. Статистическими методами изучите зависимость между случайными величинами \(Х\) и \(Y\) и составьте уравнение прямой линии регрессии \(Y\) на \(Х\).

Произведена случайная бесповторная выборка — десяти предприятий. Данные исследования количественных признаков: \(Y\) — среднемесячная выработка продукции на одного рабочего в тыс. руб., \(Х\) — стоимость основных производственных средств в млн. руб. — собраны в таблицу ниже. Составьте уравнение прямой линии регрессии \(Y\) на \(Х\).

Лабораторная работа № 4. Задание: на основании результатов экзаменационной сессии соберите данные об успеваемости по одному предмету (признак \(Х\)) и по другому предмету (признак \(Y\)), с помощью статистических методов изучите зависимость между этими величинами. Цель работы: oвладение методами установления связи между двумя случайными величинами \(Х\) и \(Y\) при большом числе наблюдений и методами определения параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным. Варианты лабораторной работы: 1). Соберите данные о значениях признака \(Х\) — успеваемость по математике и признака \(Y\) — успеваемость по физике у студентов одной из групп \((n= 20)\). 2). Соберите данные о значениях признаков \(Х\) и \(Y\), рассмотренных в варианте 1, у студентов одного из курсов \((n= 45, 70, 100)\). 3). Соберите данные о значениях признака \(Х\) — успеваемость по марксистско-ленинской философии и признака \(Y\) — успеваемость по педагогике у студентов одной из групп. 4). Соберите данные о значениях признаков \(Х\) и \(Y\), рассмотренных в варианте 3, у студентов одного из курсов. Примечание: данные о значениях признаков \(Х\) и \(Y\) можно выборочно взять из экзаменационных ведомостей. Порядок выполнения лабораторной работы: 1). Полученные данные внесите в корреляционную таблицу ниже. Порядок заполнения клеток внутри таблицы поясним примером. В группе 5 студентов получили «удовлетворительно» (3) по математике и «хорошо» (4) по физике. В уголке клетки (на пересечении третьей строки и четвертого столбца) записывается значение \(ху\), равное 12. После заполнения соответствующих клеток внутри таблицы подсчитайте \(n_x\), для каждого \(x_i\) и \(n_y\), для каждого \(y_i\). Должно иметь место равенство \(n= \sum n_x = \sum n_y\). По виду корреляционной таблицы установите форму корреляционной связи признаков \(Х\) и \(Y\). 2). Корреляционную таблицу дополните до расчетной таблицы и произведите необходимые вычисления. 3). Вычислите \(\overline{x} = \frac{\sum^n x^x}{n}\), \(\overline{y} = \frac{\sum^n y^y}{n}\), \(\overline{x^2} = \frac{\sum^n x^{x^2}}{n}\), \(\overline{y^2} = \frac{\sum^n y^{y^2}}{n}\). 4). Найдите \(\sigma_x\) и \(\sigma_y\) по формулам: \(\sigma_x =\sqrt{\overline{x^2}-(\overline{x})^2}\), \(\sigma_y =\sqrt{\overline{y^2}-(\overline{y})^2}\). 5). По формуле (70) вычислите выборочный коэффициент корреляции \(r_B\)и установите по его величине степень тесноты связи. 6). Подставьте найденные величины в уравнение (71) прямой линии регрессии \(Y\) на \(Х\).