Решение №16745: При нечетном \( n\) выполняются равенства \(x+y)(x^{n-1}+(-1)x^{n-2}y+\ldots+(-1)^{k-1}x^{n-k}y^{k-1}+\ldots+(-1)^{n-1}y^{n-1}=x^n+(-x^{n-1}y+x^{n-1}y)+(x^{n-2}y^2-x^{n-2}y^2)+\ldots+(xy^{n-1}-xy^{n-1})+y^n=x^n+y^n

Ответ: x^(n-2)y-x^(n-2)y+x^(n-3)y² -…-xy^(n-2)+y^(n-1)

Решение №16746: Воспользуйтесь тем, что \(a^n+b^n\) делится на \(a+b\) при нечетном \( n\)

Ответ: нет ответа

Решение №16747: В разложении \(21^{10}-1=(21^5-1)(21^5+1)\) число \(21^5+1\) делится на \(21+1=22\), а число $21^5-1=(21-1)(21^4+21^3+21^2+21+1)\) делится на \(100\), поскольку второй множитель - сумма пяти чисел, оканчивающихся на \(1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16748: Воспользуйтесь равенством $2^9+2^{99}+2^9(2^{90}+1)=2^9(1024^9+1)$. Первый множитель делится на \(4\), второй делится на \(1024+1=1025\), поэтому второй множитель делится на \(25\)

Ответ: нет ответа

Решение №16749: \(\frac{x^{4n}+x^{4n+4}+\ldots+x^8+x^4+1}{x^{2n}+x^{2n+2}+\ldots+x^4+x^2+1}=\frac{x^{4n+4}-1}{x^4-1}:\frac{x^{2n+2}-1}{x^2-1}=\frac{x^{2n+2}+1}{x^2+1}=\frac{(x^2)^{n+1}+1}{x^2+1}\). Если число \(n+1\) нечетно, то \(y^{n+1}+1\) делится на \(y+1\). А если \(n+1=2m\), то при делении \((x^2)^{n+1}+1=x^{4m}+1\) на \(x^2+1\) в остатке получается \(2\), так как \(x^{4m}-1\) делится на $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$ и потому делится на \(x^2+1\)

Ответ: нет ответа

Решение №16750: Произведение многочленов $1+x+x^2+\ldots+x^{99}+x^{100}=\frac{x^{101}-1}{x-1}$ и $1-x+x^2-x^3+\ldots-x^{99}+x^{100}=\frac{X^{101}+1}{x+1}$ равно \(\frac{x^{202}-1}{x^2-1}

Ответ: 1+х² +х⁴+…+х^198+х^200

Решение №16751: Воспользуйтесь тем, что \(k^n+(n-k)^n\) делится на \(k+(n-k)=n\) при нечетном \( n\)

Ответ: нет ответа

Решение №16752: В разложении $3^{2^n}-1=(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)\ldots(3^{2^{n-1}}+1)\) все множители, кроме второго, делятся на \(2\) и не делятся на \(4\). В самом деле, согласно примеру \(4\) на с. \(20\) при делении на \(4\) квадрат нечетного числа дает в остатке \(1\)

Ответ: нет ответа