№16751

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Многочлены, Понятие многочлена, Формулы сокращенного умножения, Формула для xⁿ+yⁿ,

Задача в следующих классах: 7 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Задачи по алгебре. 7 класс, электронное издание. Авторы: В.В Прасолов. Издательство МЦНМО, М-2019

Условие

Докажите, что при четном \( n\) многочлен $x^{4n}+x^{4n-4}+\ldots+x^8+x^4+1$ делится на многочлен $x^{2n}+x^{2n-2}+\ldots+x^4+x^2+1$, а при нечетном \( n\) не делится.

Ответ

нет ответа

Решение № 16749:

\(\frac{x^{4n}+x^{4n+4}+\ldots+x^8+x^4+1}{x^{2n}+x^{2n+2}+\ldots+x^4+x^2+1}=\frac{x^{4n+4}-1}{x^4-1}:\frac{x^{2n+2}-1}{x^2-1}=\frac{x^{2n+2}+1}{x^2+1}=\frac{(x^2)^{n+1}+1}{x^2+1}\). Если число \(n+1\) нечетно, то \(y^{n+1}+1\) делится на \(y+1\). А если \(n+1=2m\), то при делении \((x^2)^{n+1}+1=x^{4m}+1\) на \(x^2+1\) в остатке получается \(2\), так как \(x^{4m}-1\) делится на $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$ и потому делится на \(x^2+1\)