№7667

Экзамены с этой задачей: Показательные уравнения Простейшие уравнения

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Показательная функция, Показательные и логарифмические уравнения, смешанные показательные уравнения,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Решите уравнение:\(5^{x}-24=\frac{25}{5^{x}}\)

Ответ

2

Решение № 7667:

Для решения уравнения \(5^{x} - 24 = \frac{25}{5^{x}}\) выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем уравнение: \[ 5^{x} - 24 = \frac{25}{5^{x}} \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \(5^{x}\), чтобы избавиться от дроби: \[ 5^{x} \cdot 5^{x} - 24 \cdot 5^{x} = 25 \] </li> <li>Упростим левую часть уравнения, используя свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \[ (5^{x})^2 - 24 \cdot 5^{x} = 25 \] \[ 5^{2x} - 24 \cdot 5^{x} = 25 \] </li> <li>Перенесем все члены на одну сторону уравнения: \[ 5^{2x} - 24 \cdot 5^{x} - 25 = 0 \] </li> <li>Сделаем замену \(y = 5^{x}\), чтобы получить квадратное уравнение: \[ y^2 - 24y - 25 = 0 \] </li> <li>Решим квадратное уравнение \(y^2 - 24y - 25 = 0\) с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -24\), \(c = -25\): \[ y = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25)}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 100}}{2} \] \[ y = \frac{24 \pm \sqrt{676}}{2} \] \[ y = \frac{24 \pm 26}{2} \] </li> <li>Найдем два корня уравнения: \[ y_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25 \] \[ y_2 = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] </li> <li>Подставим обратно \(y = 5^{x}\): \[ 5^{x} = 25 \quad \text{или} \quad 5^{x} = -1 \] </li> <li>Решим уравнения: \[ 5^{x} = 25 \implies x = 2 \quad \text{(поскольку \(5^2 = 25\))} \] \[ 5^{x} = -1 \quad \text{(не имеет решений, так как \(5^{x}\) всегда положительно)} \] </li> <li>Таким образом, единственное решение уравнения: \[ x = 2 \] </li> </ol> Ответ: 2