№7257

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Техника дифференцирования, Производная показательной и логарифмической функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти производную функции \(f(x)=(x+1)^{2}(x-1)-e^{(x+1)^{2}(x-1)}\)

Ответ

\((x+1)(3x-1)\left ( 1+e^{(x+1)^{2}(x-1)} \right )\)

Решение № 7257:

Для нахождения производной функции \( f(x) = (x+1)^2(x-1) - e^{(x+1)^2(x-1)} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Разложим функцию \( f(x) \) на две части и найдем их производные по отдельности: </li> \[ f(x) = g(x) - h(x) \] где \[ g(x) = (x+1)^2(x-1) \] и \[ h(x) = e^{(x+1)^2(x-1)} \] <li> Найдем производную \( g(x) \): </li> \[ g(x) = (x+1)^2(x-1) \] Используем правило произведения: \[ g'(x) = \left[(x+1)^2\right]'(x-1) + (x+1)^2\left[(x-1)\right]' \] Найдем производные каждого множителя: \[ \left[(x+1)^2\right]' = 2(x+1) \] \[ \left[(x-1)\right]' = 1 \] Подставим эти производные: \[ g'(x) = 2(x+1)(x-1) + (x+1)^2(1) \] Упростим выражение: \[ g'(x) = 2(x+1)(x-1) + (x+1)^2 \] \[ g'(x) = 2(x^2 - 1 + x - 1) + (x^2 + 2x + 1) \] \[ g'(x) = 2x^2 + 2x - 2 + x^2 + 2x + 1 \] \[ g'(x) = 3x^2 + 4x - 1 \] <li> Найдем производную \( h(x) \): </li> \[ h(x) = e^{(x+1)^2(x-1)} \] Используем правило цепочки: \[ h'(x) = e^{(x+1)^2(x-1)} \cdot \left[(x+1)^2(x-1)\right]' \] Найдем производную внутренней функции: \[ \left[(x+1)^2(x-1)\right]' = 3x^2 + 4x - 1 \] Подставим эту производную: \[ h'(x) = e^{(x+1)^2(x-1)} \cdot (3x^2 + 4x - 1) \] <li> Теперь найдем производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = g'(x) - h'(x) \] Подставим найденные производные: \[ f'(x) = (3x^2 + 4x - 1) - e^{(x+1)^2(x-1)} \cdot (3x^2 + 4x - 1) \] Вынесем общий множитель: \[ f'(x) = (3x^2 + 4x - 1) \left(1 - e^{(x+1)^2(x-1)}\right) \] </ol> Ответ: \[ f'(x) = (3x^2 + 4x - 1) \left(1 - e^{(x+1)^2(x-1)}\right) \]