№5810

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебраические дроби, Сложение и вычитание алгебраических дробей,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Н.А.Шапошников, Н.К.Вальцов. Сборник алгебраических задач для средней школы,издание 13 переработанное,часть 2,государственное учебно-педагогическое издание 1933

Условие

Упростите выражение: \(\frac{a^{3}}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^{3}}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^{3}}{(c-a)(c-b)}\)

Ответ

\(a+b+c\)

Решение № 5810:

\(\frac{a^{3}}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^{3}}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^{3}}{(c-a)(c-b)}=\frac{a^{3}}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^{3}}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^{3}}{(c-a)(c-b)}=\frac{a^{3}}{(a-b)(a-c)}-\frac{b^{3}}{(a-b)(b-c)}+\frac{c^{3}}{(a-b)(b-c)}=\frac{a^{2}(b-c)-b^{3}(a-c)+c^{3}(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{a^{3}b-a^{3}c-ab^{3}+b^{3}+b^{3}c+ac^{3}-bc^{3}}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ab(a^{2}-b^{2})+c(b^{3}-a^{3})+c^{3}(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ab(a-b)(a+b)-c(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})+c^{3}(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{ab(a-b)(a+b)-c(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})+c^{3}(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{(a-b)(ab(a+b)-c(a^{2}+ab+b^{2})+c^{3})}{(a-b)(a-c)(b-c)}=\frac{a^{2}b+ab^{2}-a^{2}c-abc-b^{2}c+c^{3}}{(a-c)(b-c)}=\frac{a^{2}(b-c)+ab(b-c)-c(b^{2}-c^{2})}{(a-c)(b-c)}=\frac{a^{2}(b-c)+ab(b-c)-c(b-c)(b+c)}{(a-c)(b-c)}=\frac{(b-c)(a^{2}+ab-c(b+c))}{(a-c)(b-c)}=\frac{a^{2}+ab-cb-c^{2}}{a-c}=\frac{a^{2}-c^{2}+ab-bc}{a-c}=\frac{(a-c)(a+c)+b(a-c)}{a-c}=\frac{(a-c)(a+c)+b(a-c)}{a-c}=\frac{(a-c)(a+c+b)}{a-c}=a+b+c\)