№5809

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебраические дроби, Сложение и вычитание алгебраических дробей,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Н.А.Шапошников, Н.К.Вальцов. Сборник алгебраических задач для средней школы,издание 13 переработанное,часть 2,государственное учебно-педагогическое издание 1933

Условие

Пусть \(x=\frac{a-b}{a+b}; y=\frac{b-c}{b+c}; z=\frac{c-a}{c+a}\). Докажите, что справедливо равенство \((1+x)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-z)\)

Ответ

\((1-x)(1-y)(1-y)(1-z)\)

Решение № 5809:

\(x=\frac{a-b}{a+b}; y=\frac{b-c}{b+c}; z=\frac{c-a}{c+a}; (1+x)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-z)=(1+\frac{a-b}{a+b})(1+\frac{b-c}{b+c})(1+\frac{c-a}{c+a})=(\frac{a+b+a-b}{a+b})(\frac{b+c+b-c}{b+c})(\frac{c+a+c-a}{c+a})=\frac{2a}{a+b} \cdot \frac{2b}{b+c} \cdot \frac{2c}{c+a} =\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}; (1-x)(1-y)(1-z)=(1-\frac{a-b}{a+b})(1-\frac{b-c}{b+c})(1-\frac{c-a}{c+a})=(\frac{a+b-a+b}{a+b})(\frac{b+c-b+c}{b+c})(\frac{c+a-c+a}{c+a})=\frac{2b}{a+b} \cdot \frac{2c}{b+c} \cdot \frac{2a}{c+a} =\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}; \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}, значит (1+z)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-y)(1-z)\)