№5800

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебраические дроби, Сложение и вычитание алгебраических дробей,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Н.А.Шапошников, Н.К.Вальцов. Сборник алгебраических задач для средней школы,издание 13 переработанное,часть 2,государственное учебно-педагогическое издание 1933

Условие

Докажите тождество: \(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^{2}}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)

Ответ

NaN

Решение № 5800:

\(\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+a^{2}}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{32}{1-a^{32}}=\frac{1+a+1-a}{(1-a)(1+a)}+\frac{2}{1+a^{2}}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{2}{1-a^{2}}+\frac{2}{1+a^{2}}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{2}{1-a^{2}}+\frac{2}{1+a^{2}}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{2(1+a^{2})+2(1-a^{2})}{(1-a^{2})(1+a^{2})}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{2+2a^{2}+2-2a^{2}}{(1-a^{4})}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{4}{1-a^{4}}+\frac{4}{1+a^{4}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{4(1+a^{4})+4(1-a^{4})}{(1-a^{4})(1+a^{4})}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{4+4a^{4}+4-4a^{4}}{1-a^{8})(1+a^{8})}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{8}{1-a^{8}}+\frac{8}{1+a^{8}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{8(1+a^{8})+8(1-a^{8})}{(1-a^{8}(1+a^{8})}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{8+8a^{8}+8-8a^{8}}{1-a^{16}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{16}{1-a^{16}}+\frac{16}{1+a^{16}}=\frac{16(1+a^{16})+16(1-a^{16})}{(1-a^{16})(1+a^{16})}=\frac{16+16a^{16}+16-16a^{16}}{1-a^{32}}=\frac{32}{1-a^{32}}\)