Экзамены с этой задачей: Условная вероятность.Теорема Байеса

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, Условная вероятность.Теорема Байеса,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

На соревнованиях по метанию копья последнему спортсмену осталось выполнить последнюю попытку. Если во время броска ветер будет попутным, то спортсмен сможет победить с вероятностью 0,42, если же ветер будет встречный — то с вероятностью 0,35. Вероятность метнуть копьё при попутном ветре равна 0,6. Найдите вероятность того, что спортсмен метал копьё при попутном ветре, если известно, что он победил.

Ответ

\(\frac{9}{14}\).

Решение № 45988:

<ol> <li>Обозначим события: <ul> <li>\( A \) — спортсмен победил. </li> <li>\( B \) — ветер будет попутным. </li> <li>\( \overline{B} \) — ветер будет встречным. </li> </ul> </li> <li>Из условия задачи известны следующие вероятности: <ul> <li> \( P(A|B) = 0.42 \) — вероятность победы при попутном ветре. </li> <li> \( P(A|\overline{B}) = 0.35 \) — вероятность победы при встречном ветре. </li> <li> \( P(B) = 0.6 \) — вероятность попутного ветра. </li> </ul> </li> <li>Необходимо найти вероятность того, что спортсмен метал копьё при попутном ветре, если известно, что он победил \( P(B|A) \). </li> <li>Используем формулу Байеса: \[ P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} \] </li> <li>Сначала найдем общую вероятность победы \( P(A) \) с использованием формулы полной вероятности: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] </li> <li>Найдем \( P(\overline{B}) \): \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.6 = 0.4 \] </li> <li>Теперь подставим известные значения в формулу полной вероятности: \[ P(A) = 0.42 \cdot 0.6 + 0.35 \cdot 0.4 \] </li> <li>Вычислим каждое слагаемое: \[ 0.42 \cdot 0.6 = 0.252 \] \[ 0.35 \cdot 0.4 = 0.14 \] </li> <li>Сложим полученные значения: \[ P(A) = 0.252 + 0.14 = 0.392 \] </li> <li>Теперь подставим значения в формулу Байеса: \[ P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} = \frac{0.42 \cdot 0.6}{0.392} \] </li> <li>Вычислим значение: \[ P(B|A) = \frac{0.252}{0.392} \approx 0.643 \] </li> </ol> Ответ: \( 0.643 \)