Экзамены с этой задачей: Условная вероятность.Теорема Байеса

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, Условная вероятность.Теорема Байеса,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

В коробке лежат 24 синих и 16 красных ручек. Дима выбирает наугад ручку из коробки и этой ручкой пишет число на бумаге. Электронный сканер распознаёт число, написанное синей ручкой, с ве- роятностью \(90 \%\), а число, написанное красной ручкой, с вероятностью \(70 \%\). Найдите вероятность того, что Дима выбрал красную ручку, если известно, что сканер распознал число.

Ответ

\(\frac{42}{123}\).

Решение № 45986:

<ol> <li>Обозначим события: <ul> <li>\( R \) — Дима выбрал красную ручку. </li> <li>\( B \) — Дима выбрал синюю ручку. </li> <li>\( S \) — сканер распознал число. </li> </ul> </li> <li>Из условия задачи известны следующие вероятности: <ul> <li>\( P(S|R) = 0.7 \) — вероятность того, что сканер распознает число, если оно написано красной ручкой. </li> <li>\( P(S|B) = 0.9 \) — вероятность того, что сканер распознает число, если оно написано синей ручкой. </li> <li>\( P(R) \) — вероятность того, что Дима выбрал красную ручку. </li> <li>\( P(B) \) — вероятность того, что Дима выбрал синюю ручку. </li> </ul> </li> <li>Найдем вероятности \( P(R) \) и \( P(B) \): <ul> <li>Всего ручек: \( 24 \) синих + \( 16 \) красных = \( 40 \) ручек. </li> <li>\( P(R) = \frac{16}{40} = 0.4 \) </li> <li>\( P(B) = \frac{24}{40} = 0.6 \) </li> </ul> </li> <li>Используем формулу полной вероятности для нахождения \( P(S) \): \[ P(S) = P(S|R) \cdot P(R) + P(S|B) \cdot P(B) \] </li> <li>Подставим известные значения в формулу: \[ P(S) = 0.7 \cdot 0.4 + 0.9 \cdot 0.6 \] </li> <li>Вычислим каждое слагаемое: \[ 0.7 \cdot 0.4 = 0.28 \] \[ 0.9 \cdot 0.6 = 0.54 \] </li> <li>Сложим полученные значения: \[ P(S) = 0.28 + 0.54 = 0.82 \] </li> <li>Теперь найдем условную вероятность \( P(R|S) \) с использованием теоремы Байеса: \[ P(R|S) = \frac{P(S|R) \cdot P(R)}{P(S)} \] </li> <li>Подставим известные значения в формулу: \[ P(R|S) = \frac{0.7 \cdot 0.4}{0.82} \] </li> <li>Вычислим значение: \[ P(R|S) = \frac{0.28}{0.82} \approx 0.341 \] </li> </ol> Полное выражение будет выглядеть так: $$P(R|S) = \frac{P(S|R) \cdot P(R)}{P(S)} = \frac{0.7 \cdot 0.4}{0.82} \approx 0.341 $$ Ответ: 0.341