Экзамены с этой задачей: Условная вероятность.Теорема Байеса

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, Условная вероятность.Теорема Байеса,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

В коробке лежат 24 синих и 16 красных ручек. Дима выбирает наугад ручку из коробки и этой ручкой пишет число на бумаге. Электронный сканер распознаёт число, написанное синей ручкой, с ве- роятностью \(90 \%\), а число, написанное красной ручкой, с вероятностью \(70 \%\). Найдите вероятность того, что написанное число будет распознано.

Ответ

\(82\%\).

Решение № 45985:

<ol> <li>Обозначим события: <ul> <li>\( A \) — написанное число будет распознано. </li> <li>\( B \) — выбрана синяя ручка. </li> <li>\( \overline{B} \) — выбрана красная ручка. </li> </ul> </li> <li>Из условия задачи известны следующие вероятности: <ul> <li>\( P(A|B) = 0.9 \) — вероятность распознавания числа, написанного синей ручкой. </li> <li>\( P(A|\overline{B}) = 0.7 \) — вероятность распознавания числа, написанного красной ручкой. </li> <li>\( P(B) = \frac{24}{24+16} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5} \) — вероятность выбора синей ручки. </li> </ul> </li> <li>Используем формулу полной вероятности: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] </li> <li>Сначала найдем \( P(\overline{B}) \): \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \] </li> <li>Теперь подставим известные значения в формулу: \[ P(A) = 0.9 \cdot \frac{3}{5} + 0.7 \cdot \frac{2}{5} \] </li> <li>Вычислим каждое слагаемое: \[ 0.9 \cdot \frac{3}{5} = \frac{2.7}{5} = \frac{27}{50} \] \[ 0.7 \cdot \frac{2}{5} = \frac{1.4}{5} = \frac{14}{50} \] </li> <li>Сложим полученные значения: \[ P(A) = \frac{27}{50} + \frac{14}{50} = \frac{41}{50} = 0.82 \] </li> </ol> Полное выражение будет выглядеть так: $$P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) = 0.9 \cdot \frac{3}{5} + 0.7 \cdot \frac{2}{5} = \frac{27}{50} + \frac{14}{50} = \frac{41}{50} = 0.82$$ Ответ: 0.82