Экзамены с этой задачей: Условная вероятность.Теорема Байеса

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, Условная вероятность.Теорема Байеса,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Согласно данным страховой компании, вероятность того, что водитель попадёт в аварию в течение года, равна 0,05. Однако, если известно, что водительский стаж меньше двух лет,то такая вероятность составляет уже 0,15. Среди водителей \(25 \%\) имеют стаж меньше двух лет.Найдите вероятность того, что у водителя, который попал в аварию в течение года, водительский стаж был меньше двух лет.

Ответ

\(75\%\).

Решение № 45984:

<ol> <li>Обозначим события: <ul> <li>\( A \) — водитель попал в аварию в течение года. </li> <li>\( B \) — водительский стаж меньше двух лет. </li> <li>\( \overline{B} \) — водительский стаж больше двух лет. </li> </ul> </li> <li> <ul> Из условия задачи известны следующие вероятности: <li> \( P(B) = 0.25 \) — вероятность того, что водительский стаж меньше двух лет. </li> <li> \( P(A|B) = 0.15 \) — вероятность аварии при стаже меньше двух лет. </li> <li> \( P(A|\overline{B}) = 0.05 \) — вероятность аварии при стаже больше двух лет. </li> </ul> Необходимо найти \( P(B|A) \) — вероятность того, что у водителя, который попал в аварию, водительский стаж был меньше двух лет. </li> <li> Сначала найдем \( P(\overline{B}) \): \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.25 = 0.75 \] </li> <li> Найдем \( P(A) \) — общую вероятность аварии, используя формулу полной вероятности: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] </li> <li> Подставим известные значения в формулу: \[ P(A) = 0.15 \cdot 0.25 + 0.05 \cdot 0.75 \] </li> <li> Вычислим каждое слагаемое: \[ 0.15 \cdot 0.25 = 0.0375 \] \[ 0.05 \cdot 0.75 = 0.0375 \] </li> <li> Сложим полученные значения: \[ P(A) = 0.0375 + 0.0375 = 0.075 \] </li> <li> Теперь используем теорему Байеса для нахождения \( P(B|A) \): \[ P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} \] </li> <li> Подставим известные значения в формулу: \[ P(B|A) = \frac{0.15 \cdot 0.25}{0.075} \] </li> <li> Вычислим значение: \[ P(B|A) = \frac{0.0375}{0.075} = 0.5 \] </li> </ol> Полное выражение будет выглядеть так: $$P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} = \frac{0.15 \cdot 0.25}{0.075} = 0.5$$ Ответ: 0.5