Экзамены с этой задачей: Условная вероятность.Теорема Байеса

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, Условная вероятность.Теорема Байеса,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

После путешествия в Европу у путешественника остались фотографии — 10 пейзажей и 15 портретов из Франции и 6 пейзажей и 14 портретов из Италии. Путешественник выбирает наугад 2 фотографии. Какова вероятность того, что они обе будут пейзажами, ес ли известно, что он не выбрал ни одного портрета из Франции?

Ответ

\(\frac{8}{29}\).

Решение № 45975:

Для решения задачи воспользуемся условной вероятностью и формулой полной вероятности. Рассмотрим пошаговое решение: <ol> <li>Обозначим события: <ul> <li>\( A \) — обе фотографии являются пейзажами. </li> <li>\( B \) — путешественник не выбрал ни одного портрета из Франции. </li> </ul> </li> <li>Из условия задачи известно: <ul> <li>Всего фотографий: \( 10 \) пейзажей и \( 15 \) портретов из Франции, \( 6 \) пейзажей и \( 14 \) портретов из Италии. </li> <li>Общее количество фотографий: \( 10 + 15 + 6 + 14 = 45 \). </li> </ul> </li> <li>Найдем вероятность события \( B \): <ul> <li>Вероятность не выбрать ни одного портрета из Франции: \[ P(B) = \frac{\binom{10+6+14}{2}}{\binom{45}{2}} = \frac{\binom{30}{2}}{\binom{45}{2}} \] </li> </ul> </li> <li>Найдем вероятность события \( A \) при условии \( B \): <ul> <li>Вероятность того, что обе фотографии являются пейзажами при условии, что не выбрано ни одного портрета из Франции: \[ P(A|B) = \frac{\binom{10+6}{2}}{\binom{30}{2}} = \frac{\binom{16}{2}}{\binom{30}{2}} \] </li> </ul> </li> <li>Теперь найдем общую вероятность: <ul> <li>Используем формулу полной вероятности: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) \] </li> </ul> </li> <li>Вычислим каждое значение: <ul> <li>\( \binom{45}{2} = \frac{45 \cdot 44}{2 \cdot 1} = 990 \) </li> <li>\( \binom{30}{2} = \frac{30 \cdot 29}{2 \cdot 1} = 435 \) </li> <li>\( \binom{16}{2} = \frac{16 \cdot 15}{2 \cdot 1} = 120 \) </li> </ul> </li> <li>Подставим значения в формулы: <ul> <li>\( P(B) = \frac{435}{990} = \frac{29}{66} \) </li> <li>\( P(A|B) = \frac{120}{435} = \frac{8}{29} \) </li> </ul> </li> <li>Теперь найдем \( P(A) \): <ul> <li>\( P(A) = \frac{8}{29} \cdot \frac{29}{66} = \frac{8}{66} = \frac{4}{33} \) </li> </ul> </li> </ol> Ответ: \( \frac{4}{33} \).