Экзамены с этой задачей: Условная вероятность.Теорема Байеса

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, Условная вероятность.Теорема Байеса,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Известно, что \(Р_A(В) = 0,5\), \(Р_B(А) = 0,75\) и \(Р(А\cup В) = 0,25\). Найдите:\( Р(А\cap В)\).

Ответ

\(\frac{7}{12}\).

Решение № 45972:

Конечно, давайте решим задачу пошагово, выделяя список в HTML тэги. <ol> <li>Обозначим события: <ul> <li>\( A \) — первое событие. </li> <li>\( B \) — второе событие. </li> </ul> </li> <li>Из условия задачи известны следующие вероятности: <ul> <li>\( P_A(B) = 0.5 \) — условная вероятность события \( B \) при условии, что произошло событие \( A \). </li> <li>\( P_B(A) = 0.75 \) — условная вероятность события \( A \) при условии, что произошло событие \( B \). </li> <li>\( P(A \cup B) = 0.25 \) — вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий \( A \) или \( B \). </li> </ul> Необходимо найти \( P(A \cap B) \). </li> <li>Используем формулу условной вероятности: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) \] и \[ P(A \cap B) = P(B) \cdot P_B(A) \] </li> <li>Также используем формулу вероятности объединения двух событий: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] </li> <li>Подставим известные значения в формулу вероятности объединения: \[ 0.25 = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] </li> <li>Выразим \( P(A) \) и \( P(B) \) через \( P(A \cap B) \): \[ P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P_A(B)} = \frac{P(A \cap B)}{0.5} \] \[ P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P_B(A)} = \frac{P(A \cap B)}{0.75} \] </li> <li>Подставим эти выражения в формулу вероятности объединения: \[ 0.25 = \frac{P(A \cap B)}{0.5} + \frac{P(A \cap B)}{0.75} - P(A \cap B) \] </li> <li>Приведем к общему знаменателю: \[ 0.25 = \frac{P(A \cap B)}{0.5} + \frac{P(A \cap B)}{0.75} - P(A \cap B) \] \[ 0.25 = \frac{2P(A \cap B)}{1} + \frac{4P(A \cap B)}{3} - P(A \cap B) \] \[ 0.25 = \frac{6P(A \cap B) + 4P(A \cap B) - 3P(A \cap B)}{3} \] \[ 0.25 = \frac{7P(A \cap B)}{3} \] </li> <li>Решим уравнение относительно \( P(A \cap B) \): \[ 0.25 = \frac{7P(A \cap B)}{3} \] \[ 0.25 \cdot 3 = 7P(A \cap B) \] \[ 0.75 = 7P(A \cap B) \] \[ P(A \cap B) = \frac{0.75}{7} \] \[ P(A \cap B) = \frac{3}{28} \] </li> <li>Ответ: \[ P(A \cap B) = \frac{3}{28} \approx 0.1071 \] </li> </ol>