Экзамены с этой задачей: Условная вероятность.Теорема Байеса

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, Условная вероятность.Теорема Байеса,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Известно, что \(Р_A(В) = 0,5\), \(Р_B(А) = 0,75\) и \(Р(А\cup В) = 0,25\). Найдите:\( Р(В)\).

Ответ

\(\frac{1}{3}\).

Решение № 45971:

Для решения задачи найдем вероятность события \( P(B) \) с использованием теоремы Байеса и формулы для вероятности объединения двух событий. <ol> <li>Обозначим события: <ul> <li>\( A \) — одно событие. </li> <li>\( B \) — другое событие. </li> </ul> </li> <li>Из условия задачи известны следующие вероятности: <ul> <li>\( P(A|B) = 0.5 \) — условная вероятность события \( A \) при условии, что произошло событие \( B \). </li> <li>\( P(B|A) = 0.75 \) — условная вероятность события \( B \) при условии, что произошло событие \( A \). </li> <li>\( P(A \cup B) = 0.25 \) — вероятность объединения событий \( A \) и \( B \). </li> </ul> </li> <li>Используем формулу для вероятности объединения двух событий: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] </li> <li>Также используем формулу для условной вероятности: \[ P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A) \] </li> <li>Теперь подставим известные значения в формулу для \( P(A \cup B) \): \[ 0.25 = P(A) + P(B) - P(A|B) \cdot P(B) \] </li> <li>Подставим \( P(A|B) = 0.5 \) в уравнение: \[ 0.25 = P(A) + P(B) - 0.5 \cdot P(B) \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 0.25 = P(A) + 0.5 \cdot P(B) \] </li> <li>Теперь используем формулу для условной вероятности \( P(B|A) \): \[ P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = 0.75 \cdot P(A) \] </li> <li>Подставим \( P(A \cap B) \) в уравнение: \[ 0.25 = P(A) + P(B) - 0.75 \cdot P(A) \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 0.25 = P(A) + P(B) - 0.75 \cdot P(A) \] \[ 0.25 = 0.25 \cdot P(A) + P(B) \] </li> <li>Решим систему уравнений: \[ P(A) + 0.5 \cdot P(B) = 0.25 \] \[ 0.25 \cdot P(A) + P(B) = 0.25 \] </li> <li>Выразим \( P(A) \) из первого уравнения: \[ P(A) = 0.25 - 0.5 \cdot P(B) \] </li> <li>Подставим \( P(A) \) во второе уравнение: \[ 0.25 \cdot (0.25 - 0.5 \cdot P(B)) + P(B) = 0.25 \] \[ 0.0625 - 0.125 \cdot P(B) + P(B) = 0.25 \] \[ 0.0625 + 0.875 \cdot P(B) = 0.25 \] \[ 0.875 \cdot P(B) = 0.1875 \] \[ P(B) = \frac{0.1875}{0.875} = 0.214285714 \] </li> </ol> Ответ: \( P(B) \approx 0.214 \)