Экзамены с этой задачей: Условная вероятность.Теорема Байеса

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, Условная вероятность.Теорема Байеса,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Известно, что \(Р_A(В) = 0,5\), \(Р_B(А) = 0,75\) и \(Р(А\cup В) = 0,25\). Найдите: \( Р(А)\).

Ответ

0.5

Решение № 45970:

Конечно, давайте решим задачу пошагово. <ol> <li>Обозначим события: <ul> <li>\( A \) — событие \( A \). </li> <li>\( B \) — событие \( B \). </li> </ul> </li> <li>Известны следующие вероятности: <ul> <li>\( P(A|B) = 0.5 \) — условная вероятность события \( A \) при условии, что произошло событие \( B \).</li> <li>\( P(B|A) = 0.75 \) — условная вероятность события \( B \) при условии, что произошло событие \( A \).</li> <li>\( P(A \cup B) = 0.25 \) — вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий \( A \) или \( B \).</li> </ul> </li> <li>Используем формулу условной вероятности: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] </li> <li>Выразим \( P(A \cap B) \) через известные вероятности: \[ P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) \] \[ P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) \] </li> <li>Также используем формулу для вероятности объединения двух событий: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] </li> <li>Подставим известные значения: \[ P(A \cup B) = 0.25 \] \[ P(A|B) = 0.5 \] \[ P(B|A) = 0.75 \] </li> <li>Из первого уравнения находим \( P(A \cap B) \): \[ P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = 0.5 \cdot P(B) \] </li> <li>Из второго уравнения находим \( P(A \cap B) \): \[ P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = 0.75 \cdot P(A) \] </li> <li>Приравниваем два выражения для \( P(A \cap B) \): \[ 0.5 \cdot P(B) = 0.75 \cdot P(A) \] </li> <li>Выразим \( P(B) \) через \( P(A) \): \[ P(B) = \frac{0.75 \cdot P(A)}{0.5} = 1.5 \cdot P(A) \] </li> <li>Подставим \( P(B) \) в уравнение для \( P(A \cup B) \): \[ 0.25 = P(A) + 1.5 \cdot P(A) - 0.75 \cdot P(A) \] \[ 0.25 = P(A) + 1.5P(A) - 0.75P(A) \] \[ 0.25 = 1.75P(A) \] </li> <li>Решим уравнение для \( P(A) \): \[ P(A) = \frac{0.25}{1.75} = \frac{1}{7} \] </li> </ol> Ответ: \( P(A) = \frac{1}{7} \)