Экзамены с этой задачей: Условная вероятность.Теорема Байеса

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, Условная вероятность.Теорема Байеса,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

В коробке лежат несколько шаров одного цвета: либо все красные, либо все синие. Вероятность того, что в коробке лежат красные шары, равна 5. Из коробки наугад последовательно берут два шара. Какова вероятность того, что второй вынутый шар окажется красным, если первый вынутый шартакже оказался красным?

Ответ

1

Решение № 45961:

Для решения задачи воспользуемся теоремой Байеса и формулой полной вероятности. <ol> <li>Обозначим события: <ul> <li>\( R \) — в коробке лежат красные шары. </li> <li>\( B \) — в коробке лежат синие шары. </li> <li>\( A_1 \) — первый шар красный. </li> <li>\( A_2 \) — второй шар красный. </li> </ul> </li> <li>Из условия задачи известны следующие вероятности: <ul> <li>\( P(R) = 0.5 \) — вероятность того, что в коробке лежат красные шары. </li> <li>\( P(B) = 0.5 \) — вероятность того, что в коробке лежат синие шары. </li> </ul> </li> <li>Поскольку первый шар оказался красным, нам нужно найти условную вероятность того, что второй шар также будет красным, при условии, что первый шар был красным: \( P(A_2 | A_1) \).</li> <li>Применим теорему Байеса для нахождения \( P(R | A_1) \): \[ P(R | A_1) = \frac{P(A_1 | R) \cdot P(R)}{P(A_1)} \] </li> <li>Сначала найдем \( P(A_1) \): \[ P(A_1) = P(A_1 | R) \cdot P(R) + P(A_1 | B) \cdot P(B) \] </li> <li>Так как \( P(A_1 | R) = 1 \) (если в коробке красные шары, то первый шар точно будет красным) и \( P(A_1 | B) = 0 \) (если в коробке синие шары, то первый шар точно не будет красным), то: \[ P(A_1) = 1 \cdot 0.5 + 0 \cdot 0.5 = 0.5 \] </li> <li>Теперь найдем \( P(R | A_1) \): \[ P(R | A_1) = \frac{1 \cdot 0.5}{0.5} = 1 \] </li> <li>Теперь нам нужно найти \( P(A_2 | A_1) \): \[ P(A_2 | A_1) = P(A_2 | A_1 \cap R) \cdot P(R | A_1) + P(A_2 | A_1 \cap B) \cdot P(B | A_1) \] </li> <li>Tак как \( P(R | A_1) = 1 \) и \( P(B | A_1) = 0 \) (поскольку первый шар был красным, вероятность того, что в коробке синие шары, равна нулю), то: \[ P(A_2 | A_1) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 \] </li> <li>Итоговая вероятность того, что второй шар будет красным, при условии, что первый шар был красным, равна: \[ P(A_2 | A_1) = 1 \] </li> </ol> Ответ: 1