Экзамены с этой задачей: Условная вероятность.Теорема Байеса

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, Условная вероятность.Теорема Байеса,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

В коробке лежат несколько шаров одного цвета: либо все красные, либо все синие. Вероятность того, что в коробке лежат красные шары, равна 5. Из коробки наугад последовательно берут два шара. Какова вероятность того, что второй вынутый шар окажется красным?

Ответ

\(\frac{1}{2}\).

Решение № 45960:

Для решения задачи воспользуемся формулой полной вероятности и теоремой Байеса. Обозначим события: <ol> <li>Обозначим события: <ul> <li>\( R \) — в коробке лежат красные шары. </li> <li>\( B \) — в коробке лежат синие шары. </li> <li>\( A \) — событие того, что второй вынутый шар окажется красным. </li> </ul> </li> <li>Из условия задачи известны следующие вероятности: <ul> <li>\( P(R) = 0.5 \) — вероятность того, что в коробке лежат красные шары. </li> <li>\( P(B) = 0.5 \) — вероятность того, что в коробке лежат синие шары. </li> </ul> </li> <li>Используем формулу полной вероятности для нахождения \( P(A) \): \[ P(A) = P(A|R) \cdot P(R) + P(A|B) \cdot P(B) \] </li> <li>Определим условные вероятности: <ul> <li>\( P(A|R) \) — вероятность того, что второй шар будет красным, если в коробке лежат красные шары. Поскольку все шары красные, то \( P(A|R) = 1 \). </li> <li>\( P(A|B) \) — вероятность того, что второй шар будет красным, если в коробке лежат синие шары. Поскольку все шары синие, то \( P(A|B) = 0 \). </li> </ul> </li> <li>Подставим известные значения в формулу: \[ P(A) = P(A|R) \cdot P(R) + P(A|B) \cdot P(B) = 1 \cdot 0.5 + 0 \cdot 0.5 \] </li> <li>Вычислим каждое слагаемое: \[ 1 \cdot 0.5 = 0.5 \] \[ 0 \cdot 0.5 = 0 \] </li> <li>Сложим полученные значения: \[ P(A) = 0.5 + 0 = 0.5 \] </li> </ol> Полное выражение будет выглядеть так: $$P(A) = P(A|R) \cdot P(R) + P(A|B) \cdot P(B) = 1 \cdot 0.5 + 0 \cdot 0.5 = 0.5 + 0 = 0.5$$ Ответ: 0.5