Экзамены с этой задачей: Конус

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, усеченный конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

1) Образующая конуса равна \(L\), угол при вершине осевого сечения \(\varphi\). Найдите площадь основания. 2) Площадь основания конуса \(Q\), образующая \(l\). Найдите площадь осевого сечения.

Ответ

1) \(\pi l^{2}sin^{2}\frac{\varphi}{2}\); 2) \(\sqrt{\frac{Q}{\pi}\left ( l^{2}-\frac{Q}{\pi } \right )}\)

Решение № 45656:

### Задача 1: Образующая конуса равна \(L\), угол при вершине осевого сечения \(\varphi\). Найдите площадь основания. <ol> <li>Запишем данные: образующая конуса \(L\), угол при вершине осевого сечения \(\varphi\).</li> <li>Определим радиус основания конуса. В треугольнике, образованном осевым сечением конуса, радиус основания \(R\) можно найти через образующую \(L\) и угол \(\varphi\): \[ R = L \sin \left( \frac{\varphi}{2} \right) \] </li> <li>Площадь основания конуса \(S\) можно найти по формуле площади круга: \[ S = \pi R^2 \] </li> <li>Подставим \(R\) в формулу площади: \[ S = \pi \left( L \sin \left( \frac{\varphi}{2} \right) \right)^2 \] </li> <li>Упростим выражение: \[ S = \pi L^2 \sin^2 \left( \frac{\varphi}{2} \right) \] </li> </ol> Таким образом, площадь основания конуса есть: \[ S = \pi L^2 \sin^2 \left( \frac{\varphi}{2} \right) \] ### Задача 2: Площадь основания конуса \(Q\), образующая \(l\). Найдите площадь осевого сечения. <ol> <li>Запишем данные: площадь основания конуса \(Q\), образующая \(l\).</li> <li>Определим радиус основания конуса через площадь основания: \[ R = \sqrt{\frac{Q}{\pi}} \] </li> <li>Осевое сечение конуса представляет собой треугольник с основанием, равным диаметру основания конуса, и высотой, равной образующей \(l\). Диаметр основания \(D\) равен: \[ D = 2R = 2 \sqrt{\frac{Q}{\pi}} \] </li> <li>Площадь треугольника (осевого сечения) можно найти по формуле площади треугольника: \[ S_{\text{осевого сечения}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \] </li> <li>Подставим значения основания и высоты: \[ S_{\text{осевого сечения}} = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{\frac{Q}{\pi}} \times l = l \sqrt{\frac{Q}{\pi}} \] </li> </ol> Таким образом, площадь осевого сечения конуса есть: \[ S_{\text{осевого сечения}} = l \sqrt{\frac{Q}{\pi}} \]