Экзамены с этой задачей: Конус

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Высота конуса равна 12 см, а его объем равен \(324 \pi см^{3}\). Найдите угол сектора, который получится, если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость.

Ответ

\(216^{\circ}\)

Решение № 44870:

Для решения задачи о нахождении угла сектора, который получится при развертывании боковой поверхности конуса на плоскость, выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем данные задачи: <ul> <li>Высота конуса \(h = 12 \text{ см}\).</li> <li>Объем конуса \(V = 324 \pi \text{ см}^3\).</li> </ul> </li> <li>Выразим формулу объема конуса: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где \(r\) — радиус основания конуса. </li> <li>Подставим данные в формулу объема: \[ 324 \pi = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 12 \] </li> <li>Сократим на \(\pi\) и умножим обе части уравнения на 3: \[ 324 = r^2 \cdot 4 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 4: \[ r^2 = 81 \] </li> <li>Возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения: \[ r = 9 \text{ см} \] </li> <li>Найдем длину образующей конуса \(l\), используя теорему Пифагора: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} \] </li> <li>Подставим значения \(r\) и \(h\): \[ l = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \] </li> <li>Найдем угол сектора \(\alpha\), который получится при развертывании боковой поверхности конуса на плоскость. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса: \[ \text{Длина дуги} = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 9 = 18 \pi \text{ см} \] </li> <li>Используем формулу для длины дуги окружности: \[ \text{Длина дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi l \] </li> <li>Подставим значения длины дуги и длины окружности: \[ 18 \pi = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi \cdot 15 \] </li> <li>Сократим на \(2 \pi\): \[ 9 = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 15 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 15: \[ \frac{9}{15} = \frac{\alpha}{360^\circ} \] </li> <li>Разделим 9 на 15 и умножим на 360: \[ \alpha = \frac{9}{15} \cdot 360^\circ = 0.6 \cdot 360^\circ = 216^\circ \] </li> </ol> Таким образом, угол сектора, который получится при развертывании боковой поверхности конуса на плоскость, равен \(216^\circ\). Ответ: \(216^\circ\)