Экзамены с этой задачей: Конус

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите объем конуса, если его высота равна \(H\).

Ответ

\(\frac{1}{12} \pi H^{3}\)

Решение № 44868:

Для решения задачи о нахождении объема конуса, высота которого равна диаметру его основания, выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем формулу объема конуса: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где \(r\) — радиус основания конуса, \(h\) — высота конуса. </li> <li>Учитываем, что высота конуса \(h\) равна диаметру его основания. Диаметр основания равен \(2r\), следовательно: \[ h = 2r \] </li> <li>Подставим \(h = 2r\) в формулу объема конуса: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 (2r) \] </li> <li>Упростим выражение: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 2r = \frac{2}{3} \pi r^3 \] </li> <li>Теперь выразим радиус \(r\) через высоту \(H\). Поскольку \(h = 2r\), то: \[ r = \frac{H}{2} \] </li> <li>Подставим \(r = \frac{H}{2}\) в формулу объема: \[ V = \frac{2}{3} \pi \left( \frac{H}{2} \right)^3 \] </li> <li>Вычислим \(\left( \frac{H}{2} \right)^3\): \[ \left( \frac{H}{2} \right)^3 = \frac{H^3}{8} \] </li> <li>Подставим это значение обратно в формулу объема: \[ V = \frac{2}{3} \pi \cdot \frac{H^3}{8} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} \pi H^3 = \frac{1}{12} \pi H^3 \] </li> </ol> Таким образом, объем конуса, высота которого равна диаметру его основания, равен: \[ V = \frac{1}{12} \pi H^3 \] Ответ: \(\frac{1}{12} \pi H^3\)