Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно \(m\) и составляет с плоскостью основания угол \(\varphi\). Найдите объем пирамиды.

Ответ

\(\frac{2}{3}m^{3}cos^{2}\varphi \cdot sin\varphi\)

Решение № 44853:

Для решения задачи о нахождении объема правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно \(m\) и составляет с плоскостью основания угол \(\varphi\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим основные элементы пирамиды: <ul> <li>\(PABCD\) — правильная четырехугольная пирамида.</li> <li>\(PO\) — высота пирамиды.</li> <li>\(BK\) — апофема пирамиды (высота боковой грани).</li> <li>\(AB = a\) — сторона основания пирамиды.</li> </ul> </li> <li>Выразим \(BK\) через \(m\) и \(\varphi\): \[ BK = m \sin \varphi \] </li> <li>Выразим сторону основания \(a\) через \(m\) и \(\varphi\): \[ a = 2m \cos \varphi \] </li> <li>Выразим высоту пирамиды \(PO\) через \(m\) и \(\varphi\): \[ PO = m \sin \varphi \] </li> <li>Найдем площадь основания \(S\): \[ S = a^2 = (2m \cos \varphi)^2 = 4m^2 \cos^2 \varphi \] </li> <li>Используем формулу объема пирамиды \(V\): \[ V = \frac{1}{3} S \cdot PO \] </li> <li>Подставим значения \(S\) и \(PO\) в формулу объема: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 4m^2 \cos^2 \varphi \cdot m \sin \varphi \] </li> <li>Упростим выражение для объема: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 4m^3 \cos^2 \varphi \sin \varphi \] </li> <li>Используем тригонометрическое тождество \(\sin 2\varphi = 2 \sin \varphi \cos \varphi\): \[ V = \frac{2}{3} m^3 \cos \varphi \sin 2 \varphi \] </li> </ol> Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен: \[ V = \frac{2}{3} m^3 \cos \varphi \sin 2 \varphi \] Ответ: \(\frac{2}{3} m^3 \cos \varphi \sin 2 \varphi\)