Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Основание призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) является равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(m\). Вершина \(A_{1}\) проектируется в центр этого основания, а ребро \(AA_{1}\) составляет с плоскостью основания угол \(\varphi\). Найдите объем призмы.

Ответ

\(\frac{1}{4}m^{3}tg\varphi\)

Решение № 44842:

Для решения задачи найти объем призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) с равносторонним треугольником \(ABC\) со стороной \(m\) и углом \(\varphi\) между ребром \(AA_{1}\) и плоскостью основания, выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем известные данные: <ul> <li>Основание призмы — равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(m\).</li> <li>Вершина \(A_{1}\) проектируется в центр основания \(ABC\).</li> <li>Ребро \(AA_{1}\) составляет угол \(\varphi\) с плоскостью основания.</li> </ul> </li> <li>Найдем высоту \(h\) призмы: <ul> <li>Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AA_{1}O\), где \(O\) — центр треугольника \(ABC\).</li> <li>Пусть \(AO = r\) — радиус описанной окружности треугольника \(ABC\).</li> <li>Радиус описанной окружности равностороннего треугольника со стороной \(m\) равен \(r = \frac{m \sqrt{3}}{3}\).</li> </ul> </li> <li>Выразим высоту \(h\) через угол \(\varphi\): <ul> <li>Из прямоугольного треугольника \(AA_{1}O\) имеем: \[ \tan(\varphi) = \frac{h}{r} \] </li> <li>Следовательно, \[ h = r \cdot \tan(\varphi) = \frac{m \sqrt{3}}{3} \cdot \tan(\varphi) \] </li> </ul> </li> <li>Найдем площадь основания \(S\): <ul> <li>Площадь равностороннего треугольника со стороной \(m\) равна: \[ S = \frac{m^2 \sqrt{3}}{4} \] </li> </ul> </li> <li>Вычислим объем призмы \(V\): <ul> <li>Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: \[ V = S \cdot h = \left( \frac{m^2 \sqrt{3}}{4} \right) \cdot \left( \frac{m \sqrt{3}}{3} \cdot \tan(\varphi) \right) \] </li> <li>Упростим выражение: \[ V = \frac{m^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{m \sqrt{3}}{3} \cdot \tan(\varphi) = \frac{m^3 \cdot 3}{12} \cdot \tan(\varphi) = \frac{m^3 \tan(\varphi)}{4} \] </li> </ul> </li> </ol> Таким образом, объем призмы \(ABCA_{1}B_{1}C_{1}\) равен: \[ \boxed{\frac{m^3 \tan(\varphi)}{4}} \]