Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, объем призмы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в \(60^{\circ}\) с плоскостью основания. Найдите объем призмы, если сторона основания равна \(a\).

Ответ

\(\frac{3\sqrt{3}a^{3}}{8}\)

Решение № 44828:

Для решения задачи о нахождении объема правильной треугольной призмы, через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в \(60^{\circ}\) с плоскостью основания, выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем условие задачи: <p>В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в \(60^{\circ}\) с плоскостью основания. Сторона основания равна \(a\).</p> </li> <li>Найдем площадь основания: <p>Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной \(a\).</p> <p>Площадь равностороннего треугольника: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] </p> </li> <li>Найдем высоту призмы: <p>Сечение составляет угол в \(60^{\circ}\) с плоскостью основания.</p> <p>Пусть \(H\) — высота призмы. Тогда: \[ \tan(60^{\circ}) = \frac{H}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} \] </p> <p>Поскольку \(\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}\): \[ \sqrt{3} = \frac{H}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} \] </p> <p>Решим это уравнение: \[ H = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3a}{2} \] </p> </li> <li>Найдем объем призмы: <p>Объем призмы \(V\) равен произведению площади основания на высоту: \[ V = S \cdot H = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3a}{2} \] </p> <p>Упростим выражение: \[ V = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{3a^3 \sqrt{3}}{8} \] </p> </li> </ol> Таким образом, объем правильной треугольной призмы равен: \[ \boxed{\frac{3a^3 \sqrt{3}}{8}} \]