Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, объем призмы,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите объем правильной \(n\) - угольной призмы, у которой каждое ребро равно \(a\), если: а)\(n\) = 3; б)\(n\) = 4; в)\(n\) = 6; г)\(n\) = 8.

Ответ

а)\(\frac{\sqrt{3}a^{3}}{4}\); б)\(a^{3}\); в)\(1,5\sqrt{3}a^{3}\); г)\(\frac{2a^{3}}{tg 22^{\circ}{30}'}\)

Решение № 44827:

Для решения задачи о нахождении объема правильной \(n\) - угольной призмы, у которой каждое ребро равно \(a\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Определим формулу для объема правильной \(n\) - угольной призмы. Объем \(V\) правильной призмы определяется как произведение площади основания \(S\) на высоту \(h\): \[ V = S \cdot h \] </li> <li>Площадь основания правильного \(n\) - угольника определяется формулой: \[ S = \frac{n a^2}{4 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \] где \(a\) — длина стороны основания. </li> <li>Высота \(h\) призмы равна длине ребра, то есть \(h = a\). </li> <li>Подставим выражения для \(S\) и \(h\) в формулу объема: \[ V = \left(\frac{n a^2}{4 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}\right) \cdot a = \frac{n a^3}{4 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \] </li> </ol> Теперь найдем объем для каждого значения \(n\): <ol> <li>а) \(n = 3\): <ol> <li>Подставим \(n = 3\) в формулу объема: \[ V = \frac{3 a^3}{4 \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)} \] </li> <li>Значение \(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\), поэтому: \[ V = \frac{3 a^3}{4 \sqrt{3}} = \frac{3 a^3}{4 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3} a^3}{12} = \frac{\sqrt{3} a^3}{4} \] </li> </ol> </li> <li>б) \(n = 4\): <ol> <li>Подставим \(n = 4\) в формулу объема: \[ V = \frac{4 a^3}{4 \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)} \] </li> <li>Значение \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\), поэтому: \[ V = \frac{4 a^3}{4 \cdot 1} = a^3 \] </li> </ol> </li> <li>в) \(n = 6\): <ol> <li>Подставим \(n = 6\) в формулу объема: \[ V = \frac{6 a^3}{4 \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)} \] </li> <li>Значение \(\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), поэтому: \[ V = \frac{6 a^3}{4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{6 a^3}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{3 \sqrt{3} a^3}{2} \] </li> </ol> </li> <li>г) \(n = 8\): <ol> <li>Подставим \(n = 8\) в формулу объема: \[ V = \frac{8 a^3}{4 \tan\left(\frac{\pi}{8}\right)} \] </li> <li>Значение \(\tan\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1\), поэтому: \[ V = \frac{8 a^3}{4 (\sqrt{2} - 1)} = \frac{8 a^3}{4 (\sqrt{2} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{8 a^3 (\sqrt{2} + 1)}{4 (2 - 1)} = 2 a^3 (\sqrt{2} + 1) \] </li> </ol> </li> </ol> Таким образом, объемы правильных \(n\) - угольных призм для различных значений \(n\) равны: <ul> <li>а) \(V = \frac{\sqrt{3} a^3}{4}\)</li> <li>б) \(V = a^3\)</li> <li>в) \(V = \frac{3 \sqrt{3} a^3}{2}\)</li> <li>г) \(V = 2 a^3 (\sqrt{2} + 1)\)</li> </ul>