Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, объем прямоугольного параллилепипеда,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны \(a\) и \(b\). Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную \(b\), угол в \(30^{\circ}\). Найдите объем параллелепипеда.

Ответ

\(ab\sqrt{3a^{2}-b^{2}}\)

Решение № 44819:

Для решения задачи о нахождении объема прямоугольного параллелепипеда, где стороны основания равны \(a\) и \(b\), а диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью угол в \(30^{\circ}\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим высоту параллелепипеда как \(h\).</li> <li>Диагональ параллелепипеда \(D\) можно выразить через стороны основания и высоту: \[ D = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} \] </li> <li>Диагональ параллелепипеда составляет угол \(30^{\circ}\) с боковой гранью, содержащей сторону \(b\). Это означает, что проекция диагонали на боковую грань равна \(b\).</li> <li>Используем определение косинуса угла между диагональю и боковой гранью: \[ \cos(30^{\circ}) = \frac{b}{D} \] </li> <li>Зная, что \(\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), подставим это в уравнение: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + h^2}} \] </li> <li>Раскроем это уравнение: \[ \sqrt{3} \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} = 2b \] </li> <li>Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ 3(a^2 + b^2 + h^2) = 4b^2 \] </li> <li>Упростим уравнение: \[ 3a^2 + 3b^2 + 3h^2 = 4b^2 \] \[ 3a^2 + 3h^2 = b^2 \] \[ a^2 + h^2 = \frac{b^2}{3} \] </li> <li>Решим уравнение относительно \(h^2\): \[ h^2 = \frac{b^2}{3} - a^2 \] </li> <li>Найдем высоту \(h\): \[ h = \sqrt{\frac{b^2}{3} - a^2} \] </li> <li>Объем параллелепипеда \(V\) равен произведению площади основания на высоту: \[ V = a \cdot b \cdot h \] </li> <li>Подставим выражение для \(h\): \[ V = a \cdot b \cdot \sqrt{\frac{b^2}{3} - a^2} \] </li> </ol> Таким образом, объем параллелепипеда равен: \[ V = a \cdot b \cdot \sqrt{\frac{b^2}{3} - a^2} \] Ответ: \(V = a \cdot b \cdot \sqrt{\frac{b^2}{3} - a^2}\)