Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, объем, объем прямоугольного параллилепипеда,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол \(\alpha\) с плоскостью боковой грани и угол \(\beta\) с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна \(h\).

Ответ

\(\frac{h^{3}sin\alpha \sqrt{cos^{2}\beta-sin^{2}\alpha}}{sin^{2}\beta}\)

Решение № 44818:

Для решения задачи о нахождении объема прямоугольного параллелепипеда, где диагональ составляет угол \(\alpha\) с плоскостью боковой грани и угол \(\beta\) с плоскостью основания, при высоте \(h\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим параллелепипед как \(ABCD A_1B_1C_1D_1\), где \(AA_1 = h\).</li> <li>Пусть \(AC_1 = d\) — диагональ параллелепипеда.</li> <li>Углы \(\alpha\) и \(\beta\) заданы следующим образом: \[ \angle AC_1A_1 = \alpha \quad \text{и} \quad \angle AC_1C = \beta \] </li> <li>Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACA_1\), где \(\angle ACA_1 = 90^\circ\). Из теоремы Пифагора: \[ AC = d \cos \alpha \] </li> <li>Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AC_1C\), где \(\angle ACC_1 = 90^\circ\). Из теоремы Пифагора: \[ CC_1 = d \sin \beta \] </li> <li>Теперь найдем \(d\) из треугольника \(AA_1C_1\): \[ d = \frac{h}{\sin \alpha} \] </li> <li>Подставим \(d\) в выражения для \(AC\) и \(CC_1\): \[ AC = \frac{h \cos \alpha}{\sin \alpha} \] \[ CC_1 = \frac{h \sin \beta}{\sin \alpha} \] </li> <li>Объем параллелепипеда \(V\) равен произведению площади основания на высоту: \[ V = AC \cdot CC_1 \cdot h \] </li> <li>Подставим найденные значения \(AC\) и \(CC_1\): \[ V = \left(\frac{h \cos \alpha}{\sin \alpha}\right) \cdot \left(\frac{h \sin \beta}{\sin \alpha}\right) \cdot h \] </li> <li>Упростим выражение: \[ V = \frac{h^3 \cos \alpha \sin \beta}{\sin^2 \alpha} \] </li> </ol> Таким образом, объем параллелепипеда равен: \[ V = \frac{h^3 \cos \alpha \sin \beta}{\sin^2 \alpha} \] Ответ: \[ V = \frac{h^3 \cos \alpha \sin \beta}{\sin^2 \alpha} \]