Экзамены с этой задачей: Конус

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, усеченный конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Радиусы оснований усеченной конуса равны \(R\) и \(r\), где \(R>r\), а образующая составляет с плоскостью основания угол в \(45^{\circ}\). Найдите площадь осевого сечения.

Ответ

\(R^{2}-r^{2}\)

Решение № 44723:

Для решения задачи о нахождении площади осевого сечения усеченного конуса, радиусы оснований которого равны \(R\) и \(r\), где \(R > r\), а образующая составляет с плоскостью основания угол в \(45^\circ\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем известные данные: \[ \text{Радиусы оснований: } R \text{ и } r \text{, где } R > r \] \[ \text{Угол между образующей и плоскостью основания: } 45^\circ \] </li> <li>Определим длину образующей \( l \) усеченного конуса. Поскольку угол между образующей и плоскостью основания составляет \(45^\circ\), то: \[ l = \frac{R - r}{\cos(45^\circ)} = \frac{R - r}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = (R - r) \cdot \sqrt{2} \] </li> <li>Определим высоту \( h \) усеченного конуса. Поскольку образующая составляет угол \(45^\circ\) с плоскостью основания, высота \( h \) равна разности радиусов: \[ h = R - r \] </li> <li>Осевое сечение усеченного конуса представляет собой трапецию с основаниями \(2R\) и \(2r\) и высотой \(h\). Площадь трапеции определяется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \] где \(a\) и \(b\) — длины оснований трапеции, а \(h\) — высота. </li> <li>Подставим известные значения в формулу площади трапеции: \[ S = \frac{1}{2} \times (2R + 2r) \times (R - r) \] </li> <li>Упростим выражение: \[ S = \frac{1}{2} \times 2(R + r) \times (R - r) \] \[ S = (R + r) \times (R - r) \] \[ S = R^2 - r^2 \] </li> </ol> Таким образом, площадь осевого сечения усеченного конуса равна \( R^2 - r^2 \). Ответ: \( R^2 - r^2 \)