Экзамены с этой задачей: Конус

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, усеченный конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Образующая конуса равна \(l\), а радиус основания равен \(r\). Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу: а) в \(60^{\circ}\); б) в \(90^{\circ}\).

Ответ

а) \(\frac{r\sqrt{4l^{2}-r^{2}}}{4}\); б) \(\frac{r\sqrt{2l^{2}-r^{2}}}{2}\)

Решение № 44708:

Для решения задачи о нахождении площади сечения конуса, проходящего через вершину и хорду основания, стягивающую дугу, выполним следующие шаги: ### а) Дуга в \(60^{\circ}\) <ol> <li>Пусть \(O\) — центр основания конуса, \(A\) и \(B\) — концы хорды, стягивающей дугу в \(60^{\circ}\), \(M\) — середина хорды \(AB\), \(S\) — вершина конуса, \(l\) — образующая конуса, \(r\) — радиус основания.</li> <li>Дуга \(AB\) составляет \(60^{\circ}\), следовательно, угол \(\angle AOB = 60^{\circ}\).</li> <li>Треугольник \(AOB\) является равносторонним треугольником, поскольку все его углы равны \(60^{\circ}\).</li> <li>Длина хорды \(AB\) равна длине стороны равностороннего треугольника: \[ AB = r \sqrt{3} \] </li> <li>Длина середины хорды \(OM\) равна: \[ OM = \frac{r \sqrt{3}}{2} \] </li> <li>Треугольник \(SOM\) является прямоугольным треугольником, где гипотенуза \(SO = l\), катет \(OM = \frac{r \sqrt{3}}{2}\) и катет \(SM\) можно найти по теореме Пифагора: \[ SM = \sqrt{l^2 - \left(\frac{r \sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{l^2 - \frac{3r^2}{4}} \] </li> <li>Площадь треугольника \(ASB\) равна: \[ S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot r \sqrt{3} \cdot \sqrt{l^2 - \frac{3r^2}{4}} \] </li> </ol> ### б) Дуга в \(90^{\circ}\) <ol> <li>Пусть \(O\) — центр основания конуса, \(A\) и \(B\) — концы хорды, стягивающей дугу в \(90^{\circ}\), \(M\) — середина хорды \(AB\), \(S\) — вершина конуса, \(l\) — образующая конуса, \(r\) — радиус основания.</li> <li>Дуга \(AB\) составляет \(90^{\circ}\), следовательно, угол \(\angle AOB = 90^{\circ}\).</li> <li>Треугольник \(AOB\) является прямоугольным треугольником, поскольку один из его углов равен \(90^{\circ}\).</li> <li>Длина хорды \(AB\) равна длине катета прямоугольного треугольника: \[ AB = r \sqrt{2} \] </li> <li>Длина середины хорды \(OM\) равна: \[ OM = \frac{r \sqrt{2}}{2} \] </li> <li>Треугольник \(SOM\) является прямоугольным треугольником, где гипотенуза \(SO = l\), катет \(OM = \frac{r \sqrt{2}}{2}\) и катет \(SM\) можно найти по теореме Пифагора: \[ SM = \sqrt{l^2 - \left(\frac{r \sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{l^2 - \frac{r^2}{2}} \] </li> <li>Площадь треугольника \(ASB\) равна: \[ S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot r \sqrt{2} \cdot \sqrt{l^2 - \frac{r^2}{2}} \] </li> </ol> Таким образом, площади сечений конуса, проходящих через вершину и хорду основания, стягивающую дугу в \(60^{\circ}\) и \(90^{\circ}\), равны: а) \( \frac{1}{2} \cdot r \sqrt{3} \cdot \sqrt{l^2 - \frac{3r^2}{4}} \) б) \( \frac{1}{2} \cdot r \sqrt{2} \cdot \sqrt{l^2 - \frac{r^2}{2}} \)