Экзамены с этой задачей: Конус

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, усеченный конус,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Высота конуса равна \(h\), а угол между высотой и образующей конуса равен \(60^{\circ}\). Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие.

Ответ

\(2h^{2}\)

Решение № 44706:

Для решения задачи о нахождении площади сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие, выполним следующие шаги: 1. **Запишем данные условия задачи:** - Высота конуса \( h \). - Угол между высотой и образующей конуса \( 60^{\circ} \). 2. **Определим длину образующей конуса:** - Пусть \( l \) — длина образующей конуса. - В треугольнике \( \triangle SOA \), где \( S \) — вершина конуса, \( O \) — центр основания, \( A \) — точка на окружности основания: \[ \cos 60^{\circ} = \frac{h}{l} \] - Зная, что \( \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \): \[ \frac{1}{2} = \frac{h}{l} \implies l = 2h \] 3. **Определим радиус основания конуса:** - Пусть \( r \) — радиус основания конуса. - В треугольнике \( \triangle SOA \): \[ \sin 60^{\circ} = \frac{r}{l} \] - Зная, что \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{2h} \implies r = h \sqrt{3} \] 4. **Определим форму сечения:** - Плоскость сечения проходит через две взаимно перпендикулярные образующие, образуя прямоугольник. - Длина одной стороны прямоугольника равна \( l = 2h \). - Длина другой стороны прямоугольника также равна \( l = 2h \). 5. **Вычислим площадь сечения:** - Площадь прямоугольника: \[ S = l \times l = (2h) \times (2h) = 4h^2 \] Таким образом, площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие, равна \( 4h^2 \). Ответ: \( 4h^2 \)