Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Площадь поверхности цилиндра,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилиндра равен \(\varphi\), диагональ равна \(d\). Найдите площади боковой и полной поверхностей цилиндра.

Ответ

\(S_{бок}=\frac{1}{2}d^{2}sin\varphi\), \(S_{цил}=\frac{1}{2}d^{2}sin\varphi +\frac{1}{2\pi}d^{2}sin^{2}\frac{\varphi}{2}\) или \(S_{цил}=\frac{1}{2}d^{2}sin\varphi +\frac{1}{2\pi}d^{2}cos^{2}\frac{\varphi}{2}\)

Решение № 44697:

Для решения задачи о нахождении площадей боковой и полной поверхностей цилиндра, зная угол между диагоналями развертки боковой поверхности и длину диагонали, выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем известные данные: <ul> <li>Угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилиндра: \(\varphi\).</li> <li>Длина диагонали: \(d\).</li> </ul> </li> <li>Найдем радиус \(r\) основания цилиндра и высоту \(h\) цилиндра: <ul> <li>Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник с основаниями, равными длине окружности основания цилиндра, и высотой, равной высоте цилиндра.</li> <li>Длина диагонали \(d\) связана с радиусом \(r\) и высотой \(h\) цилиндра через Пифагорову теорему: \[ d^2 = (2r)^2 + h^2 \] </li> <li>Угол \(\varphi\) между диагоналями развертки можно использовать для нахождения отношения высоты к диаметру основания: \[ \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) = \frac{h}{2r} \] </li> </ul> </li> <li>Выразим \(h\) через \(r\) и \(\varphi\): <ul> <li>Из выражения для тангенса: \[ h = 2r \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) \] </li> </ul> </li> <li>Подставим \(h\) в уравнение для диагонали: <ul> <li> \[ d^2 = (2r)^2 + \left(2r \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)^2 \] </li> <li>Упростим: \[ d^2 = 4r^2 + 4r^2 \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) \] </li> <li> \[ d^2 = 4r^2 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right) \] </li> <li>Выразим \(r^2\): \[ r^2 = \frac{d^2}{4 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)} \] </li> </ul> </li> <li>Найдем площадь боковой поверхности цилиндра \(S_{\text{бок}}\): <ul> <li>Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту: \[ S_{\text{бок}} = 2\pi r \cdot h \] </li> <li>Подставим \(h = 2r \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)\): \[ S_{\text{бок}} = 2\pi r \cdot 2r \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) = 4\pi r^2 \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) \] </li> <li>Подставим \(r^2\): \[ S_{\text{бок}} = 4\pi \left(\frac{d^2}{4 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)}\right) \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) \] </li> <li>Упростим: \[ S_{\text{бок}} = \frac{\pi d^2 \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)} \] </li> </ul> </li> <li>Найдем площадь полной поверхности цилиндра \(S_{\text{полн}}\): <ul> <li>Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей боковой поверхности и двух оснований: \[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} \] </li> <li>Площадь одного основания: \[ S_{\text{осн}} = \pi r^2 \] </li> <li>Подставим \(r^2\): \[ S_{\text{осн}} = \pi \left(\frac{d^2}{4 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)}\right) \] </li> <li>Упростим: \[ S_{\text{осн}} = \frac{\pi d^2}{4 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)} \] </li> <li>Подставим \(S_{\text{бок}}\) и \(S_{\text{осн}}\) в выражение для полной поверхности: \[ S_{\text{полн}} = \frac{\pi d^2 \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)} + 2 \cdot \frac{\pi d^2}{4 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)} \] </li> <li>Упростим: \[ S_{\text{полн}} = \frac{\pi d^2 \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)} + \frac{\pi d^2}{2 \left(1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)} \] </li> <li>Объединим дроби: \[ S_{\text{полн}} = \frac{\pi d^2 \left(\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) + \frac{1}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)} \] </li> </ul> </li> </ol> Таким образом, площади боковой и полной поверхностей цилиндра равны: \[ S_{\text{бок}} = \frac{\pi d^2 \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)} \] \[ S_{\text{полн}} = \frac{\pi d^2 \left(\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) + \frac{1}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)} \]