Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, Цилиндр, сфера, конус, Площадь поверхности цилиндра,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в \(120^{\circ}\). Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна \(h\), а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно \(d\)

Ответ

\(2\sqrt{3}dh\)

Решение № 44688:

Для решения задачи о нахождении площади сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, выполним следующие шаги: <ol> <li>Запишем условие задачи: Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в \(120^\circ\). Высота цилиндра равна \(h\), а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно \(d\). </li> <li>Определим радиус основания цилиндра: Пусть радиус основания цилиндра равен \(r\). </li> <li>Найдем длину хорды, отсекаемой дугой в \(120^\circ\): Дуга в \(120^\circ\) соответствует центральному углу \(120^\circ\). Длина хорды \(AB\), отсекаемой этим углом, может быть найдена с использованием формулы хорды: \[ AB = 2r \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) = 2r \sin(60^\circ) = 2r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3} \] </li> <li>Определим форму сечения: Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра \(h\), а ширина равна длине хорды \(AB\). </li> <li>Найдем площадь сечения: Площадь сечения \(S\) равна произведению высоты \(h\) на длину хорды \(AB\): \[ S = h \cdot AB = h \cdot r\sqrt{3} \] </li> <li>Выразим радиус \(r\) через расстояние \(d\): Поскольку расстояние \(d\) — это расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости, и оно равно половине хорды, то: \[ d = \frac{AB}{2} = \frac{r\sqrt{3}}{2} \] Отсюда: \[ r = \frac{2d}{\sqrt{3}} \] </li> <li>Подставим выражение для \(r\) в формулу площади: \[ S = h \cdot \left(\frac{2d}{\sqrt{3}}\right)\sqrt{3} = h \cdot 2d = 2dh \] </li> </ol> Таким образом, площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, равна \(2dh\). Ответ: \(2dh\)