Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Основание \(AB\) трапеции \(ABCD\) параллельно плоскости \(\alpha\), а вершина \(C\) лежит в этой плоскости. Докажите, что : а) основание \(CD\) трапеции лежит в плоскости \(\alpha\); б) средняя линия трапеции параллельна плоскости \(\alpha\).
Ответ
NaN
Решение № 44112:
Для решения задачи о трапеции \(ABCD\) с основанием \(AB\), параллельным плоскости \(\alpha\), и вершиной \(C\), лежащей в этой плоскости, выполним следующие шаги: ### Часть а: Доказать, что основание \(CD\) трапеции лежит в плоскости \(\alpha\) <ol> <li>Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\). Пусть \(AB \parallel \alpha\) и \(C \in \alpha\).</li> <li>Поскольку \(AB \parallel \alpha\), это означает, что \(AB\) параллельно некоторой прямой \(l\), лежащей в плоскости \(\alpha\).</li> <li>Так как \(CD \parallel AB\) (по определению трапеции), то \(CD\) также параллельно прямой \(l\), лежащей в плоскости \(\alpha\).</li> <li>Теперь у нас есть две параллельные прямые \(CD\) и \(l\), причем \(C \in \alpha\). По теореме о двух параллельных прямых, если одна из них лежит в плоскости, а другая имеет общую точку с этой плоскостью, то и вторая прямая лежит в этой плоскости.</li> <li>Следовательно, \(CD\) лежит в плоскости \(\alpha\).</li> </ol> ### Часть б: Доказать, что средняя линия трапеции параллельна плоскости \(\alpha\) <ol> <li>Средняя линия трапеции \(ABCD\) определяется как отрезок, соединяющий середины боковых сторон \(AD\) и \(BC\).</li> <li>Обозначим середины отрезков \(AD\) и \(BC\) как \(M\) и \(N\) соответственно.</li> <li>Средняя линия \(MN\) параллельна основаниям \(AB\) и \(CD\) (по свойству трапеции).</li> <li>Поскольку \(AB \parallel \alpha\) и \(CD \parallel \alpha\), средняя линия \(MN\), будучи параллельной \(AB\) и \(CD\), также параллельна плоскости \(\alpha\).</li> <li>Таким образом, средняя линия \(MN\) параллельна плоскости \(\alpha\).</li> </ol> Таким образом, мы доказали, что: а) Основание \(CD\) трапеции лежит в плоскости \(\alpha\). б) Средняя линия трапеции параллельна плоскости \(\alpha\). Ответ: Доказано.