Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, стереометрия, параллельность прямой и плоскости,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\), а точка \(C\) не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков \(AC\) и \(BC\), параллельна плоскости \(\alpha\).

Ответ

NaN

Решение № 44104:

Для доказательства того, что прямая, проходящая через середины отрезков \(AC\) и \(BC\), параллельна плоскости \(\alpha\), выполним следующие шаги: <ol> <li>Обозначим точки \(A\) и \(B\) в плоскости \(\alpha\) и точку \(C\) вне этой плоскости.</li> <li>Обозначим середины отрезков \(AC\) и \(BC\) как \(M\) и \(N\) соответственно. То есть: \[ M = \frac{A + C}{2}, \quad N = \frac{B + C}{2} \] </li> <li>Определим векторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{BN}\): \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} - \overrightarrow{A} = \frac{\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}}{2} \] \[ \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} - \overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}}{2} \] </li> <li>Теперь найдем вектор \(\overrightarrow{MN}\): \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} = \frac{\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}}{2} \] </li> <li>Заметим, что вектор \(\overrightarrow{MN}\) является половиной вектора \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \] </li> <li>Поскольку точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\), вектор \(\overrightarrow{AB}\) также лежит в плоскости \(\alpha\).</li> <li>Так как \(\overrightarrow{MN}\) является половиной \(\overrightarrow{AB}\), то \(\overrightarrow{MN}\) параллелен плоскости \(\alpha\).</li> <li>Следовательно, прямая, проходящая через точки \(M\) и \(N\), параллельна плоскости \(\alpha\).</li> </ol> Таким образом, мы доказали, что прямая, проходящая через середины отрезков \(AC\) и \(BC\), параллельна плоскости \(\alpha\).