Экзамены с этой задачей: классическое определение вероятностей

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, классическое определение вероятностей,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В круге с центром в начале координат и радиусом \(\pi\) случайно выбрали точку с целыми координатами. Найдите вероятность того, чтоэта точка лежит вне треугольника с вершинами \((0; 2)\), \((-2; -2)\), \((1; -2)\).

Ответ

\(\frac{19}{29}\).

Решение № 44004:

<ol> <li>Обозначим события: <ul> <li>\( A \) — точка лежит вне треугольника с вершинами \((0; 2)\), \((-2; -2)\), \((1; -2)\).</li> </ul> </li> <li>Определим множество всех возможных точек с целыми координатами в круге с центром в начале координат и радиусом \(\pi\): \[ \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq \pi^2 \} \] </li> <li>Поскольку \(\pi \approx 3.14\), радиус круга примерно равен 3.14. Это означает, что точки с целыми координатами будут находиться в пределах круга с радиусом примерно 3.14. Мы рассмотрим точки с целыми координатами в пределах круга с радиусом 3, так как \(\pi\) немного больше 3.</li> <li>Определим все возможные точки с целыми координатами внутри круга радиуса 3: \[ \begin{align*} &(-3, 0), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), \\ &(-1, -2), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (-1, 3), \\ &(0, -3), (0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), \\ &(1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), \\ &(2, -2), (2, -1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), \\ &(3, 0) \end{align*} \] </li> <li>Определим множество точек, лежащих внутри треугольника с вершинами \((0; 2)\), \((-2; -2)\), \((1; -2)\). Эти точки можно найти, решив систему неравенств, определяющих треугольник.</li> <li>Найдем точки, лежащие внутри треугольника: \[ \begin{align*} &(0, 2), (-1, 1), (-2, -2), (0, -2), (1, -2) \end{align*} \] </li> <li>Теперь найдем количество точек внутри треугольника: \[ \text{Количество точек внутри треугольника} = 5 \] </li> <li>Найдем количество точек вне треугольника: \[ \text{Количество точек вне треугольника} = \text{Общее количество точек} - \text{Количество точек внутри треугольника} \] \[ \text{Количество точек вне треугольника} = 29 - 5 = 24 \] </li> <li>Найдем вероятность того, что точка лежит вне треугольника: \[ P(A) = \frac{\text{Количество точек вне треугольника}}{\text{Общее количество точек}} \] \[ P(A) = \frac{24}{29} \] </li> </ol> Ответ: \( \frac{24}{29} \)