Экзамены с этой задачей: классическое определение вероятностей

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, классическое определение вероятностей,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В круге с центром в начале координат и радиусом \(\pi\) случайно выбрали точку с целыми координатами. Найдите вероятность того, что эта точка лежит в круге с центром в начале координат и радиусом \(\sqrt{3}\).

Ответ

\(\frac{9}{29}\).

Решение № 44003:

<ol> <li>Обозначим события: <ul> <li>\( A \) — точка лежит в круге радиусом \(\sqrt{3}\). </li> <li>\( B \) — точка лежит в круге радиусом \(\pi\). </li> </ul> </li> <li>Найдем количество точек с целыми координатами в круге радиусом \(\pi\). <ul> <li>Круг радиусом \(\pi\) описывается уравнением: \[ x^2 + y^2 \leq \pi^2 \] </li> <li>Приближенно \(\pi \approx 3.14\), поэтому радиус примерно равен 3.14. </li> <li>Точки с целыми координатами в этом круге: \[ (-3,-3), (-3,-2), (-3,-1), (-3,0), (-3,1), (-3,2), (-3,3), (-2,-3), \ldots, (3,3) \] </li> <li>Всего таких точек 98. </li> </ul> </li> <li>Найдем количество точек с целыми координатами в круге радиусом \(\sqrt{3}\). <ul> <li>Круг радиусом \(\sqrt{3}\) описывается уравнением: \[ x^2 + y^2 \leq 3 \] </li> <li>Точки с целыми координатами в этом круге: \[ (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1) \] </li> <li>Всего таких точек 9. </li> </ul> </li> <li>Вероятность того, что точка лежит в круге радиусом \(\sqrt{3}\), если она выбрана случайно из круга радиусом \(\pi\), равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: \[ P(A) = \frac{\text{Количество точек в круге радиусом } \sqrt{3}}{\text{Количество точек в круге радиусом } \pi} = \frac{9}{98} \] </li> <li>Вычислим значение: \[ P(A) = \frac{9}{98} \approx 0.0918 \] </li> </ol> Ответ: 0.0918