Экзамены с этой задачей: классическое определение вероятностей

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, классическое определение вероятностей,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В круге с центром в начале координат и радиусом \(\pi\) случайно выбрали точку с целыми координатами. Найдите вероятность того, что произведение координат этой точки меньше 4.

Ответ

\(\frac{27}{29}\).

Решение № 44002:

Для решения задачи найдем вероятность того, что произведение координат точки, случайно выбранной в круге с центром в начале координат и радиусом \(\pi\), меньше 4. 1. **Определим область выборки:** - Круг с центром в начале координат и радиусом \(\pi\) определяется уравнением: \[ x^2 + y^2 \leq \pi^2 \] - Поскольку координаты точки должны быть целыми числами, нам нужно найти все целочисленные точки \((x, y)\), удовлетворяющие этому уравнению. 2. **Найдем все целочисленные точки в круге:** - Для этого проверим все целые значения \(x\) и \(y\) в пределах \([-3, 3]\), так как \(\pi \approx 3.14\). - Проверим все пары \((x, y)\): \[ \begin{aligned} &(-3, -3), (-3, -2), (-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-3, 2), (-3, 3), \\ &(-2, -3), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-2, 3), \\ &(-1, -3), (-1, -2), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (-1, 3), \\ &(0, -3), (0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), \\ &(1, -3), (1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), \\ &(2, -3), (2, -2), (2, -1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3), \\ &(3, -3), (3, -2), (3, -1), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3). \end{aligned} \] 3. **Отсеим точки, лежащие внутри круга:** - Проверим каждую пару \((x, y)\) на условие \(x^2 + y^2 \leq \pi^2\). - Получим следующие точки: \[ \begin{aligned} &(-3, 0), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), \\ &(-1, -3), (-1, -2), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (-1, 3), \\ &(0, -3), (0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), \\ &(1, -3), (1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), \\ &(2, -2), (2, -1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), \\ &(3, 0). \end{aligned} \] 4. **Найдем точки, у которых произведение координат меньше 4:** - Проверим каждую точку на условие \(x \cdot y < 4\). - Получим следующие точки: \[ \begin{aligned} &(-3, 0), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), \\ &(-1, -3), (-1, -2), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (-1, 3), \\ &(0, -3), (0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), \\ &(1, -3), (1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), \\ &(2, -2), (2, -1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), \\ &(3, 0). \end{aligned} \] 5. **Подсчитаем количество точек, удовлетворяющих условию:** - Всего точек в круге: 37. - Всего точек, у которых произведение координат меньше 4: 33. 6. **Найдем вероятность:** - Вероятность \(P(A)\) того, что произведение координат меньше 4: \[ P(A) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{33}{37} \] Ответ: \[ P(A) = \frac{33}{37} \]