Экзамены с этой задачей: классическое определение вероятностей

Предмет и тема: Математика, теория вероятностей, классическое определение вероятностей,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

В круге с центром в начале координат и радиусом \(\pi\) случайно выбрали точку с целыми координатами. Найдите вероятность того, что сумма координат этой точки больше 3.

Ответ

\(\frac{1}{29}\).

Решение № 44001:

Для решения задачи найдем вероятность того, что сумма координат точки, случайно выбранной в круге с центром в начале координат и радиусом \(\pi\), больше 3. <ol> <li>Определим множество всех возможных точек с целыми координатами в круге радиусом \(\pi\). </li> <ul> <li>Круг с радиусом \(\pi\) (примерно 3.14) определяется уравнением \(x^2 + y^2 \leq \pi^2\).</li> <li>Найдем все целые точки \((x, y)\), удовлетворяющие этому уравнению.</li> </ul> </li> <li>Построим таблицу всех возможных точек: <ul> <li>\(x\) и \(y\) могут принимать значения от \(-3\) до \(3\), так как \(\pi \approx 3.14\).</li> <li>Проверим каждую пару \((x, y)\), удовлетворяющую условию \(x^2 + y^2 \leq \pi^2\).</li> </ul> </li> <li>Найдем количество всех возможных точек: <ul> <li>Проверим каждую пару \((x, y)\) и подсчитаем их количество.</li> <li>Пример: для \(x = 0\), \(y\) может быть \(0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\).</li> <li>Для \(x = \pm 1\), \(y\) может быть \(0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\).</li> <li>Для \(x = \pm 2\), \(y\) может быть \(0, \pm 1, \pm 2\).</li> <li>Для \(x = \pm 3\), \(y\) может быть \(0, \pm 1\).</li> </ul> </li> <li>Подсчитаем количество точек, сумма координат которых больше 3: <ul> <li>Проверим каждую пару \((x, y)\) и подсчитаем их количество.</li> <li>Пример: для \(x = 2\), \(y = 2\) сумма координат \(2 + 2 = 4 > 3\).</li> <li>Проделаем аналогичные расчеты для всех точек.</li> </ul> </li> <li>Найдем вероятность: <ul> <li>Общее количество точек в круге.</li> <li>Количество точек, сумма координат которых больше 3.</li> <li>Вероятность \(P\) равна отношению количества точек, сумма координат которых больше 3, к общему количеству точек.</li> </ul> </li> </ol> Теперь выполним вычисления пошагово: <ol> <li>Найдем все возможные точки в круге радиусом \(\pi\): <ul> <li>Для \(x = 0\): \(y = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\) (7 точек).</li> <li>Для \(x = \pm 1\): \(y = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\) (7 точек для каждого \(x\), итого 14 точек).</li> <li>Для \(x = \pm 2\): \(y = 0, \pm 1, \pm 2\) (5 точек для каждого \(x\), итого 10 точек).</li> <li>Для \(x = \pm 3\): \(y = 0, \pm 1\) (3 точки для каждого \(x\), итого 6 точек).</li> </ul> </li> <li>Общее количество возможных точек: <ul> <li>\(7 + 14 + 10 + 6 = 37\) точек.</li> </ul> </li> <li>Найдем количество точек, сумма координат которых больше 3: <ul> <li>Для \(x = 1\): \(y = 3\) (1 точка).</li> <li>Для \(x = 2\): \(y = 2, 3\) (2 точки).</li> <li>Для \(x = 3\): \(y = 1, 2, 3\) (3 точки).</li> <li>Для \(x = -1\): \(y = -3\) (1 точка).</li> <li>Для \(x = -2\): \(y = -2, -3\) (2 точки).</li> <li>Для \(x = -3\): \(y = -1, -2, -3\) (3 точки).</li> </ul> </li> <li>Общее количество точек, сумма координат которых больше 3: <ul> <li>\(1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 = 12\) точек.</li> </ul> </li> <li>Найдем вероятность: <ul> <li>Вероятность \(P\) равна \(\frac{12}{37}\).</li> </ul> </li> </ol> Ответ: \(\frac{12}{37}\).