Экзамены с этой задачей: Геометрический смысл производной, касательная

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Определение производной,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Прямая, проходящая через точку \(A (1;1)\), является касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(B (3; 4)\). Вычислите \(f'(3)\).

Ответ

1.5

Решение № 42809:

Для нахождения значения \( f'(3) \) в задаче, где прямая, проходящая через точку \( A(1; 1) \), является касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( B(3; 4) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( B(3; 4) \). </li> <li> Уравнение касательной в точке \( B(x_0; y_0) \) имеет вид: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] где \( x_0 = 3 \) и \( y_0 = 4 \). </li> <li> Подставить значения \( x_0 \) и \( y_0 \) в уравнение касательной: \[ y - 4 = f'(3)(x - 3) \] </li> <li> Так как прямая проходит через точку \( A(1; 1) \), подставить координаты этой точки в уравнение касательной: \[ 1 - 4 = f'(3)(1 - 3) \] </li> <li> Решить уравнение относительно \( f'(3) \): \[ -3 = f'(3)(-2) \] \[ f'(3) = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} \] </li> </ol> Ответ: <br> Значение \( f'(3) = \frac{3}{2} \)