Экзамены с этой задачей: Геометрический смысл производной, касательная

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Определение производной,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Прямая, проходящая через начало координат, является касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(A (2; -4,5)\). Вычислите \(f'(2)\).

Ответ

-2.25

Решение № 42808:

Для нахождения значения производной функции \( f(x) \) в точке \( x = 2 \), зная, что прямая, проходящая через начало координат, является касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( A(2; -4.5) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Определить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку \( A(2; -4.5) \). </li> \[ \text{Прямая, проходящая через начало координат, имеет уравнение вида } y = kx. \] \[ \text{Подставим точку } A(2; -4.5) \text{ в это уравнение:} \] \[ -4.5 = k \cdot 2 \] \[ k = \frac{-4.5}{2} = -2.25 \] \[ \text{Таким образом, уравнение прямой будет } y = -2.25x. \] <li> Использовать геометрический смысл производной. </li> \[ \text{По определению, производная функции в точке } x = 2 \text{ равна угловому коэффициенту касательной в этой точке.} \] \[ \text{Мы нашли, что угловой коэффициент касательной } k = -2.25. \] <li> Сделать вывод о значении производной. </li> \[ f'(2) = k = -2.25 \] </ol> Ответ: <br> \[ f'(2) = -2.25 \]