№40705

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Векторы, Векторный для решения планиметрических задач,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 9 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Точки \(М\), \(N\) и \(K\) лежат на сторонах \(АВ\), \(ВС\), \(АС\) треугольника \(АВС\) соответственно. Докажите, что прямые \(AN\), \(ВK\) и \(СМ\) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда \(АМ \cdot BN \cdot СK = ВМ \cdot CN \cdot AK\) (теорема Чевы).

Ответ

Указание. Разложите векторы \(\vec{AN}\), \(\vec{BK}\) и \(\vec{СМ}\) по двум неколлинеарным векторам и докажите, что точки попарного пересечения указанных в условии задачи прямых совпадают.

Решение № 40689:

NaN